Я сам решу.
А застряну — спрошу.

3. Футболки. По кругу, повернувшись лицом к его центру, стоят 15 человек в футболках

трёх цветов: пятеро – в белых, пятеро – в серых и пятеро – в чёрных. Каждый из них
сказал: «Моя футболка темнее футболки моего соседа справа». Оказалось, что все,
кроме Вани, солгали. Сколько человек солгали бы, если бы вместо этого каждый сказал:
«Моя футболка светлее футболки моего соседа справа»?
Все футболки одного цвета друг от друга не отличаются.
Т. Казицына
Ответ: 13.
Решение. Докажем, что люди стояли так, как показано
на рис. 2. Заметим, что человек в чёрной футболке, справа
от которого стоит человек в серой или белой футболках,

говорит правду. Такой человек только один, значит каждый
из четырёх остальных стоит слева от того, кто также в
чёрной футболке. Иными словами, все 5 человек в чёрных
футболках стоят подряд. Аналогично, любой человек в
серой футболке может стоять только слева от человека в
черной или серой футболках. Значит, и все 5 человек в
серых футболках стоят подряд слева от людей в чёрных
футболках. Тогда и оставшиеся 5 человек в белых футболках также стоят
Рис. 2
подряд.
Следовательно, утверждение «Моя футболка светлее футболки моего соседа
справа» будет правдой ровно для двух человек, отмеченных на рисунке стрелками, а
остальные 13 солгут.

2. Пересечение биссектрис. Может ли точка пересечения биссектрис треугольника
делить пополам одну из них?
А. Блинков
Ответ: нет.
Решение. Пусть I – точка пересечения
биссектрис треугольника АВС, которая является Рис. 1а
серединой биссектрисы AL. Можно рассуждать по-
разному.
Первый способ. Проведем отрезки BI и CI (см.
рис. 1а). Они являются медианами и
биссектрисами треугольников ABI и ACI
соответственно. Следовательно, AB = BL и АС =
CL, откуда АВ + АС = BL + CL = ВС, что противоречит неравенству треугольника.
Завершить это рассуждение можно иначе. Сумма углов ALB и ALC равна 180°, а
это углы при основании в равнобедренных треугольниках, но такие углы должны
быть острыми. Противоречие.
Второй способ. Проведем перпендикуляры IK и

IM к сторонам ВС и АВ соответственно (см. рис. 1б). Рис. 1б
Так как I – центр окружности, вписанной в треугольник
АВС, то они являются радиусами этой окружности.
Тогда прямоугольные треугольники KIL и МIА равны
(по катету и гипотенузе), откуда ∠KLI = ∠MAI. Но это
накрест лежащие углы для прямых ВС и ВА и секущей
LA, поэтому прямые ВС и ВА параллельны, что невозможно.
Отметим, что если K лежит между B и L, то аналогичное рассуждение приведёт
к параллельности прямых ВС и СА.


1

1. Дробь. Из цифр 1, 2, 3, ..., 9, взятых по одному разу, составьте обыкновенную дробь,
значение которой будет наиболее близко к единице.
Олимпиада ЮАР, 2017 г.
9876
Ответ: .
12345
Решение. Так как надо использовать 9 цифр, то, либо в числителе, либо в
знаменателе дроби, их должно быть хотя бы 5. Если в числителе их 5, то дробь больше
единицы, значит, числитель должен быть как можно меньше, а знаменатель – как можно
12345
больше. Этому условию удовлетворяет дробь . Если цифр больше в знаменателе,
9876
то нужен как можно меньший знаменатель и как можно больший числитель. Тогда
9876
получим дробь .
12345
Найдём какая из двух полученных дробей ближе к единице. Эти дроби являются
a b − a b b − a
взаимно-обратными числами. Пусть а < b, тогда 1− = , а −1 = . Значит,
b b a a
b − a b − a
< , то есть правильная дробь ближе к единице.
b a
Проверить, какая из двух полученных дробей ближе к единице, можно и
непосредственными вычислениями.