Я сам решу.
А застряну — спрошу.

2. (Ю. Блинков) Дана трапеция, в которой одно основание в два раза больше другого.
С помощью одной линейки (без делений) постройте среднюю линию этой трапеции.
Решение. Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, причем AD = 2BC (см.
рис. 8–9.2). Для построения средней линии достаточно построить любые две точки ей
принадлежащие, например, середины диагоналей AC и BD. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
Для того, чтобы их построить достаточно найти середину
отрезка AD. Действительно, пусть M — середина AD. Тогда
ABCM — параллелограмм и отрезок BM проходит через сере-
дину диагонали AC. Аналогично, отрезок CM проходит через BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
середину диагонали BD. Также заметим, что если рассмотреть QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ
треугольник APD, где P — точка пересечения прямых AB и
CD, то отрезок BC является его средней линией (BC = 0,5AD и XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY
BC k AD), то есть AC и BD — медианы этого треугольника.
Отсюда вытекает следующий способ построения: AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

1. (М. Волчкевич) На клетчатой бумаге отметили точки A, B, C и D
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
(см. рис.). Найдите тангенс угла ABD. (Тангенсом острого угла в прямо-
угольном треугольнике называется отношение противолежащего кате- BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
та к прилежащему.)
Ответ: 0,5.
Решение. Отметим на чертеже точки X, Y, M и S
(см. рис. 8–9.1). Рассмотрим прямоугольник AXCY. По тео- XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
реме Фалеса диагональ AC прямоугольника делится линия-
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
ми сетки на три равные части, то есть AD = DM = CM.
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
Кроме того, из равенства прямоугольных треугольников сле- YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY
дует, что AB = CB, то есть треугольник ABC — равнобед-
ренный и ∠BAD = ∠BCM. Следовательно, 4ABD = 4CBM,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
откуда ∠ABD = ∠CBM. Заметим, что в прямоугольном тре-
угольнике CBS сторона BS вдвое больше стороны CS. То есть Рис. 8–9.1
tg ∠ABD = tg ∠CBM = 0,5.
Комментарий. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то задачу можно решить, достроив
его до квадрата ABCP. При таком решении потребуется следующий факт: отрезки, соединяющие
вершину параллелограмма с серединами сторон, делят диагональ на три равные части. Чтобы по-
лучить ответ, достаточно рассмотреть треугольник BAQ, где Q — середина отрезка AP.

3. Игральные карты. Есть колода, в которой 36 карт четырёх мастей. Её разложили на
четыре кучки по кругу, обходя его в одном направлении и беря каждый раз по одной
карте подряд так, как они лежат в колоде. В итоге в каждой кучке оказалась только одна
масть. Известно, что за дамой треф в колоде шла чёрная карта. А какого цвета была
следующая карта после дамы пик? (Пики и трефы — черные масти, червы и бубны —
красные.)
А. Пешнин
Ответ: красная
Решение. Занумеруем масти в произвольном порядке цифрами от 0 до 3, тогда из
условия следует, что в колоде они лежали так: 01230123... . Так как за дамой треф шла


1





чёрная карта, то это могла быть только пика. Тогда после любой пиковой карты могла

лежать только красная карта.
Также можно занумеровать все карты в колоде в том порядке, как они лежат.
Тогда можно провести рассуждение, используя, что 0, 1, 2 и 3 — это остатки от
деления номеров карт на 4.

2. Испорченная рулетка. Хулиган Вася
вырезал из рулетки диапазон в 1 см и склеил
концы (фрагмент рулетки показан на
рисунке). Ваня этого не заметил и стал
измерять с её помощью длину каждой стороны и каждой диагонали некоторого
прямоугольника. Он прикладывал рулетку по-разному (не обязательно с нулевой
отметки) и находил длину каждого отрезка как разность между значениями,
соответствующими концам измеряемого отрезка. Мог ли он в результате таких измерений
получить длины 2 см, 3 см, 4 см, 5 см, 6 см и 7 см в каком-то порядке?

И. Ященко
Ответ: не мог.
Решение. Длины сторон и диагоналей прямоугольника разбиваются на три пары
равных чисел. Так как из рулетки вырезан ровно 1 см, то в результате измерений
сторонам должны соответствовать пары (2; 3) и (4; 5), а диагоналям — пара (6; 7). При
этом реальные значения длин — это меньшее из двух чисел в каждой паре, то есть
длины сторон и диагоналей прямоугольника — это 2 см, 4 см и 6 см соответственно. Но
такого прямоугольника не существует, так как для двух соседних сторон и диагонали не
выполняется неравенство треугольника.

1. Викторина. Костя, Миша и Антон участвовали в школьной викторине. Всего было
меньше чем 60 вопросов, на каждый из которых отвечал ровно один из участников (тот,
кто нажимал кнопку первым). За верный ответ давалось 10 очков, а за неверный
снималось 10 очков. Все участники дали одинаковое количество верных ответов, но в
итоге оказалось, что Костя и Миша набрали по 110 очков каждый, а Антон — минус 100
очков. Сколько очков набрал бы Антон, если бы он ответил верно на все свои вопросы?

М. Евдокимов
Ответ: 320.
Решение. Так как Костя и Миша дали одинаковое количество верных ответов и
набрали одинаковое количество очков, то и количество неверных ответов у них
одинаковое. Пусть оно равно x, тогда, так как они набрали по 110 очков, то каждый из них
верно ответил на 11 + x вопросов (x верных ответов и x неверных друг друга
скомпенсировали).
Так как Антон набрал минус 100 очков, то он неверно ответил на x + 21 вопрос.
Таким образом, всего было задано 3(11 + x) + 2x + x + 21 = 54 + 6x вопросов. Так как по
условию 54 + 6x < 60, то x < 1, то есть x = 0. Значит, каждый из ребят верно ответил на 11
вопросов, Костя и Миша ошибок не допустили, а Антон ошибся 21 раз. Если бы он не

ошибался, то ответил бы верно на 32 вопроса и набрал бы 320 очков.