Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 — Математика
12 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
Пусть L — середина меньшей дуги AC описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Из вершины B на касательную к описанной окружности, провед¨енную в точке L, опустили перпен…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке E. Окружность с центром в точке E лежит внутри прямоугольника. Из вершин C, D, A проведены касательные к окружности CF, DG, AH, п…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Окружность касается боковых сторон трапеции ABCD в точках B и C, а её центр лежит на AD. Докажите, что диаметр окружности меньше средней линии трапеции.…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E так, что \BED = 3\BDE. Точка D′ симметрична точке D относительно прямой AC. Докажите, что прямая D…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Дан вписанный четырехугольник ABCD. На сторонах AD и CD взяты точки E и F так, что AE = BC и AB = CF. Пусть M — середина EF. Докажите, что угол AMC прямой.…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Пусть A , B , C — основания высот остроугольного треугольника ABC. Окруж- 1 1 1 ность, вписанная в треугольник A B C , касается сторон A B ,A C ,B C в точках 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C ,B…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
На окружности ω зафиксирована точка A. Хорды BC окружности ω выбираются так, что проходят через фиксированную точку P. Докажите, что окружности 9 точек треугольников ABC касаются ф…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №9 · Математика · Олимпиада
Про треугольник ABC известно, что точка, симметричная ортоцентру относительно центра описанной окружности, лежит на стороне BC. Пусть A — основание 1 высоты, проведенной из точки A…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №10 · Математика · Олимпиада
Высоты BE и CF остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Перпендикуляр из H к прямой EF пересекает прямую ℓ, проходящую через точку A и параллельную BC, в точке P. Би…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №11 · Математика · Олимпиада
Пусть H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC; E, F — такие точки на сторонах AB, AC соответственно, что AEHF — параллелограмм; X, Y — точки пересечения прямой EF с описанной…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №13 · Математика · Олимпиада
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC, а угол C в полтора раза больше угла A. Диагональ AC делит угол C на два угла. Определите, какой из них больше?…
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · ОлимпиадныйЗадание №14 · Математика · Олимпиада
Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки O. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг O неч¨етно. (Числом оборотов вокруг …
Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный