Задание №174699: Уравнения

7. В треугольной пирамиде SABC из вершины S опустили высоту SH . Известно, что AC  BC , AB  AC . Сфера, построенная на отрезке SH как на диаметре, проходит через середины четырёх рёбер пирамиды, и её радиус равен 3 . а) Найдите длину ребра AC и угол ABC . б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину B и середину ребра SA, касается сферы. Найдите объём пирамиды SABC . Ответ. AC  4 3, ABC 90  ,V 12 . Решение. а) Поскольку сфера построена на высоте пирамиды как на диаметре, она касается плоскости основания ABC . Значит, сфера имеет с плоскостью ABC ровно одну общую точку H и эта точка является серединой одного из рёбер. Поскольку сфера проходит через середины четырёх рёбер пирамиды, она также пересекает отрезки SA, SB, SC в их серединах – точках K , L , M соответственно. Из касания сферы с плоскостью ABC следует, что AH  SH , BH  SH , CH  SH . Значит, треугольники AHS , BHS и CHS прямоугольные. Отрезки OK , OL, OM являются их средними линиями. Следовательно, AH  2OK  2R , BH  2R , CH  2R . По теореме Пифагора находим, что SA  SB  SC  2R 2 . Предположим, что H BC . Тогда получаем, что в треугольнике ABC медиана AH равна половине той стороны, к которой она проведена. Отсюда следует, что треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом при вершине A, т.е. отрезок BC является его самой длинной стороной, что противоречит условию. Аналогично доказывается, что H не может принадлежать AB . Поэтому H AC . Значит, AC  AH  HC  4R  4 3 , ABC  90 . б) Прямые BH и BK – это две касательные к сфере, проведённые из одной точки. Следовательно, BK  BH  2R . По формуле для медианы в треугольнике SBA получаем уравнение 4BK 2  SA 2  2SB 2  2AB 2, т.е. 16R 2  8R 2  28R 2  2AB 2, откуда AB  2R . По теореме Пифагора из треугольника ABC находим, что BC  2R 3 . Значит, объём пирамиды V равен 3 1 1 4R  2R   2R  2R 3  12 . 3 2 3 21 © МФТИ, 2014 Решения олимпиады “Физтех–2014”, билет 8  y 3  x 2  xy 1,