Задание №174697: Уравнения

2 f x tg 2  sin x    ctg 2  sin x   и gx 32  4x  x  2x  2  4   4  x 1 определены, причём значение меньшего из выражений не превосходит двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них). Ответ. x   4;  ; 0 0;1   ; 3 ; 5 ;8  . 2 2 2  Решение. Меньшее из выражений не превосходит двух тогда и только тогда, когда хотя бы одно из выражений не превосходит двух. Получаем совокупность неравенств  f x 2,  gx 2. Второе неравенство равносильно следующему: 20 © МФТИ, 2014 Решения олимпиады “Физтех–2014”, билет 7  32  4x  x 2  0, 32  4x  x 2  2x  2  2  32  4x  x 2  0       x 1 0,    x x  8  , 4,  x   4;18. x 1 x 1  32  4x  x 2  0,      4  x 1    x 1 0 Функция f x представляет собой сумму двух взаимно обратных положительных чисел. Она не превосходит двух только в одном случае – если каждое из чисел равно единице. Таким образом, неравенство f x 2 равносильно уравнению tg 2  sin x   1, откуда sin x    k , k ,  4  4 4 2 1 2k sin x  , k . Учитывая, что 1 sin x 1, получаем, что решения есть только при k  1 и 2  k  0, и эти решения задаются формулой x  l,l .