Задание №175235: Геометрия

5. Если в волшебный автомат ввести натуральное число 𝑛 > 1, то он строит клетчатый квадрат
𝑛 × 𝑛, удаляет из него одну клетку и добавляет доминошки 1 × 2 до тех пор, пока суммарная

площадь фигур не станет равна площади какого-нибудь клетчатого квадрата. Сторону этого
нового квадрата автомат возвращает обратно. Катя сто раз обменялась карточками с автоматом
и получила 2025. С какого числа она начала? ( П. Д. Муленко)

Ответ: 1925.
Решение. Рассмотрим одну операцию автомата с числом 𝑛:
• он строит квадрат 𝑛 × 𝑛 площадью 𝑛2 клеток;
• убирает из него одну клетку, получая многоугольник площади 𝑛2 − 1;

• добавляет к нему𝑘 доминошек, получая многоугольник площади𝑛2−1+2𝑘, которая равна
квадрату какого-то числа 𝑚;
• число 𝑚 он возвращает обратно.
После добавления первой доминошки площадь многоугольника равна 𝑛2 − 1 + 2 · 1 = 𝑛2 + 1,

то есть фигура уже больше изначального квадрата, что означает, что 𝑚 > 𝑛. При этом следу-
ющий возможный квадрат равен (𝑛 + 1)2 = 𝑛2 + 2𝑛 + 1, и это число оказывается достижимо
после добавления ещё 𝑛 доминошек к уже имеющейся площади 𝑛2 + 1.
Таким образом, каждый раз автомат будет выдавать следующее натуральное число. Раз Ка-
тя обменялась карточками 100 раз и получила 2025, она должна была начать с числа на 100

меньшего: 2025 − 100 = 1925.
Критерии. Только ответ — 1 балл. Сформулировано утверждение о том, что автомат выдаст𝑛+1 после
ввода 𝑛 — +1 балл. Доказано это утверждение — 5 баллов. Ошибка ±1 при поиске ответа — −1 балл