Задание №175237: Геометрия

7. Земляной холм представляет из себя правильную треугольную пирамиду, все
рёбра которой 3 м. На каждом ребре в двух точках, которые делят ребро на три

равные части, растёт по цветку. Пчела, прилетев на один из цветков, хочет по-
сетить все 12 цветков кратчайшим маршрутом. Какой длины этот маршрут?

Ответ: 11 метров. ( Л. С. Корешкова)

10


Решение. Расстояние между любыми двумя цветками не менее 1 метра.
Более того, на минимальном расстоянии находятся не только цветки на
одном ребре, но и тройки ближайших цветков к каждой из вершин тетра-

эдра. Таким образом, чтобы попасть на каждый новый цветок, нужно не
менее 1 метра, поэтому весь маршрут пчелы не может быть короче 11 мет-
ров. Пример маршрута длиной 11 метров показан на рисунке (вид сверху).
Примечание. Можно понимать вопрос задачи более строго — что для каждого начального
цветка требуется найти кратчайшую длину пути, который начинается на этом цветке. Тогда
√
верным ответом будет «11 или 10+ 3 в зависимости от того, на какой цветок прилетела пчела
изначально». Поскольку условие можно понять обоими способами, жюри засчитывало реше-
ние в любой из этих трактовок.

Критерии. Только оценка — 3 балла. Только пример — 3 балла (если пример требует «полётов под
землёй», то есть по нижней грани тетраэдра, то он оценивается в 1 балл вместо 3). Утверждение, что
расстояние между определёнными точками 1 метр, а между остальными больше 1 метра, не требует
доказательства.

11



Л А Е Д Международная математическая олимпиада
У И
М Н
Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
2025-2026 учебный год. Отборочный этап
Е
И
Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Решения задач