Задание №176633: ОММО 2025

Задача 9. График функции y(x) = −x4 + 10x3 − 33x2 + 124x − 13 имеет две точки максимума
3
и одну точку минимума. К графику провели касательную с двумя точками касания. Найдите
длину отрезка касательной между точками касания.
Ответ: 5
Решение. Пусть касание происходит в точках x = a и x = b, a < b. График функции y(x)
всюду ниже бикасательной. Поэтому разность касательной и функции всюду положительна и
обращается в ноль в точках касания, а значит имеет вид

y (x) = (x − a)(x − b)(x2 + cx + d).
1
Парабола y = (x − a)(x − b) отрицательна внутри отрезка [a,b] и положительна вне его, а
2
функция y(x) всюду неотрицательна. Чтобы соблюсти знак y(x), парабола y (x) = y/y = x2 +
3 1
cx+d должна быть также отрицательной внутри отрезка [a,b] и положительной вне его, а значит
y = y и y (x) = (x − a)(x − b)2.
3 2 1
Перемножая получаем, что
y (x) = x4 − 2(a + b)x3 + (a2 + 4ab + b2)x2 − 2ab(a + b)x + a2b2.
1
Функция y получена как разность линейной функции и y(x), а значит коэффициенты y
1 1
при степенях x4, x3 и x2 противоположны соответствующим коэффициентам y(x). Для x3 и x2
получаем:
(cid:40) (cid:40)
−2(a + b) = −10 a + b = 5
⇔
a2 + 4ab + b2 = 33 2ab = 8
Эти уравнения имеют две пары корней, но поскольку a < b, подходит только a = 1 и b = 4.
Отсюда можно найти координаты точек касания
(cid:0)
1,
13(cid:1)
и
(cid:0)
4,
25(cid:1)
и, наконец, искомое расстояние
3 3
между ними:
(cid:113)
(4 − 1)2 + (cid:0)25 − 13(cid:1)2 = 5.
3 3