Задание №176632: ОММО 2025
Задача 9. График функции y(x) = −x4 + 10x3 − 33x2 + 124x − 13 имеет две точки максимума 3 и одну точку минимума. К графику провели касательную с двумя точками касания. Найдите длину отрезка касательной между точками касания.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2025» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
20. Железная дорога проложена по кратчайшему пути вокруг горы из точки A в точку B.
Точка H — ближайшая к вершине горы из всех точек железной дороги. Найдите длину пути
BH.
400
Ответ: √ .
91
Решение. Кратчайшим путём вокруг горы на развёртке конуса будет
отрезок AB. Точка H ближайшая к вершине C, а значит CH — высота
B
в треугольнике ABC. Длина окружности основания равна 2πOA = 2π·
20 = 40π, поэтому ∠ACB = 2πOA = 40π = 2π = 120◦.
CA 60 3 50
Итак, в треугольнике ABC известны длины сторон AC = 60, BC =
50 и угол ∠C = 2π, а надо найти BH. По теореме косинусов
3
C H
(cid:113) √ √
AB = AC2 + BC2 − 2 · AB · BC · cos 2π = 3600 + 2500 + 3000 = 10 91.
3
По теореме синусов
60
√
sin∠C sin∠B 3 sin∠B
= , √ = ,
AB AC 2 · 10 91 60
A
√
откуда sin∠B = 3 √ 3 и cos∠B = √8 .
91 91
400
Наконец, треугольник CBH прямоугольный и BH = BC · cos∠B = 50 · √8 = √ .
91 91
4
ОМО (матем.) 02.02.2025 ответы и краткие решения Вариант I
Используемые формулы
Ответ: √ .Длина окружности основания равна 2πOA = 2π·20 = 40π, поэтому ∠ACB = 2πOA = 40π = 2π = 120◦.Итак, в треугольнике ABC известны длины сторон AC = 60, BC =50 и угол ∠C = 2π, а надо найти BH.(cid:113) √ √
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.