Задание №163626: Дроби
1 n хотя бы два различных числа. Для каждого n ⩾ 2 найдите наименьшую возможную степень многочлена P. Многочлен называется симметрическим, если он не меняется при любой перестановке своих переменных. Степенью многочлена P от нескольких переменных называется наибольшая из сумм показателей степеней переменных в ненулевых слагаемых (одночленах) многочлена P, записанного в стандартном виде. Например, у многочлена P(x,y) = x3y3+xy4+x4y степень равна 6 (так как 3 + 3 = 6, а это больше, чем 4 + 1 = 5). XXIII устная городская олимпиада по геометрии для 8–11 классов состоится 12 апреля. Подробности — на странице olympiads.mccme.ru/ustn/ Задачи, решения, информация о закрытии LXXXIX Московской математической олимпиады — на сайте mmo.mccme.ru
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Дроби» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Московская олимпиада школьников — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Московская олимпиада школьников — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Дроби» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1 n i=1 i i j
случае одно из чисел этого набора должно быть равно единице, а все остальные
числа равны нулю. Таким образом, данный многочлен подходит под условие.
Теперь покажем, что степень многочлена не может быть меньше четырёх. Без
ограничения общности, будем считать, что a ̸= a . Рассмотрим многочлен Q(x,y) =
1 2
P(x,y,a ,...,a ) от двух переменных. Ясно, что Q — симметрический и Q(x,y) =
Используемые формулы
1 n i=1 i i jограничения общности, будем считать, что a ̸= a .Рассмотрим многочлен Q(x,y) =Ясно, что Q — симметрический и Q(x,y) =
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.