Задание №174709: Дроби

7. В треугольной пирамиде SABC из вершины S опустили высоту SH . Известно, что SH  2 3 , AB  BC , AB  AC . Сфера, построенная на отрезке SH как на диаметре, проходит через середины четырёх рёбер пирамиды. а) Найдите длину ребра AB и угол ACB . б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину C и середину ребра SB, касается сферы. Найдите объём пирамиды SABC . Ответ. AB  4 3, ACB 90  ,V 12. Решение. а) Поскольку сфера построена на высоте пирамиды как на диаметре, она касается плоскости основания ABC . Значит, сфера имеет с плоскостью ABC ровно одну общую точку H и эта точка является серединой одного из рёбер. Поскольку сфера проходит через середины четырёх рёбер пирамиды, она также пересекает отрезки SA, SB, SC в их серединах – точках K , L , M соответственно. Из касания сферы с плоскостью ABC следует, что AH  SH , BH  SH , CH  SH . Значит, треугольники AHS , BHS и CHS прямоугольные. Отрезки OK , OL, OM являются их средними линиями. Следовательно, AH  2OK  2R , BH  2R , CH  2R . По теореме Пифагора находим, что SA  SB  SC  2R 2 . Предположим, что H BC . Тогда получаем, что в треугольнике ABC медиана AH равна половине той стороны, к которой она проведена. Отсюда следует, что треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом при вершине A, т.е. отрезок BC является его самой длинной стороной, что противоречит условию. Аналогично доказывается, что H не может принадлежать AC . Поэтому H  AB . Значит, AB  AH  HB  4R  4 3 , ACB  90  . б) Прямые CH и CL – это две касательные к сфере, проведённые из одной точки. Следовательно, CL CH  2R . По формуле для медианы в треугольнике SBC получаем уравнение 4MC 2  SB 2  2SC 2  2BC 2 , т.е. 16R 2  8R 2  28R 2  2BC 2, откуда BC  2R. По теореме Пифагора из треугольника ABC находим, что AC  2R 3 . Значит, объём пирамиды V равен 3 1 1 4R  2R   2R  2R 3  12 . 3 2 3 24 © МФТИ, 2014 Критерии оценивания. Математика 2014. Варианты 1 – 4. Задача считается полностью решенной (и за нее начисляется максимально возможное количество баллов), только если в тексте решения приведены все необходимые преобразования и полностью объяснены все имеющиеся логические шаги, при этом полученные ответы приведены к упрощенному виду. Наличие верного ответа по задаче не гарантирует выставление положительного балла. 1(5). Верно рассмотрены оба случая “основания равны” и “подлогарифмическое выражение равно единице” …...….........................................................................................................................................+5 очков. Рассмотрен только один из этих случаев. ......................………..........................не более 2 очков за всю задачу. За каждый посторонний корень............................................................................................................снять 1 очко. 2(5). Уравнение сведено к уравнению вида cosxcosx sinx  Asin xcosx ..............................+1 очко. Уравнение сведено к уравнению вида cosxcosx  sin xcosx..................................................................+2 очка. Решено полученное уравнение........................................................................................................................+1 очко. Сделан отбор корней при условии, что уравнение решено верно...............................................................+1 очко. Потеряны решения при cosx  0...................................................................................................................снять 2 очка. Если уравнение cosx sinx  Asin x решено неверно или не решено ... не более 2 очков за всю задачу. Неверно решено элементарное тригонометрическое уравнение........................ не более 3 очков за всю задачу. Ошибка в знаке в формуле приведения арифметической не считается. 3(5). Первое уравнение системы решено как квадратное.............................................................................+2 очка. Разобран случай, в котором подкоренное выражение во втором уравнении отрицательно.........................+1 очко. Разобран случай, дающий пару решений.......................................................................................................+2 очка. Угадано одно решение (или оба решения)......................................................................................................0 очков. 4(8). Найден искомый угол..............................................................................................................................+2 очка. Если найдены и площадь, и радиус, то +6 очков. Если задача решена не полностью, то выставляются следующие промежуточные оценки: Найдена искомая площадь...............................................................................................................................+3 очка. Найден радиус...................................................................................................................................................+2 очка. 5(6). Правая часть представлена в виде произведения степеней трёх простых чисел...............................+1 очко. Задача сведена к решению системы уравнений в целых неотрицательных числах..................................+1 очко. Найдено количество решений всех трёх уравнений.....................................................................................+2 очка. Найдено количество решений только двух полученных уравнений.........................................................+1 очко. Верный принцип подсчёта количества решений (применено правило произведения).............................+2 очка. 6(8). Решено неравенство f x 2...................................................................................................................+2 очка. Решено неравенство gx 2 ...........................................................................................................................+3 очка. – если при этом не сделан отбор по ОДЗ функции gx, то 1 очко вместо 3. a a – если разобран только один из случаев  0 или  0 , то 1 очко вместо 3. b b – если присутствуют обе эти ошибки, то 0 очков вместо 3. – за неэквивалентное преобразование неравенства 0 очков вместо 3. Верно выписан ответ с учётом ОДЗ обеих функций.....................................................................................+3 очка. 7(9). Описано, какой вид имеет пирамида (каких ребер касается сфера)...................................................+2 очка. Обоснована единственность конфигурации..................................................................................................+1 очко. Найден угол.......................................................................................................................................................+1 очко. Найдена длина ребра........................................................................................................................................+2 очка. Найден объём пирамиды .................................................................................................................................+3 очка. Получена неверная конфигурация..........................................................................................0 очков за всю задачу. Итого – 46 очков. Критерии оценивания. Математика 2014. Варианты 5 – 8. Задача считается полностью решенной (и за нее начисляется максимально возможное количество баллов), только если в тексте решения приведены все необходимые преобразования и полностью объяснены все имеющиеся логические шаги, при этом полученные ответы приведены к упрощенному виду. Наличие верного ответа по задаче не гарантирует выставление положительного балла. 1(6). Получено уравнение вида ax2 bxy  cy2  0....................................................................................+2 очка. Верно получены линейные выражения одной переменной через другую (2 случая)...............................+1 очко. Верно рассмотрен случай, дающий 1 решение.............................................................................................+1 очко. Верно рассмотрен случай, дающий 3 решения.............................................................................................+2 очка. 2(5). Уравнение сведено к квадратному (или линейному – в случае сокращения на знаменатель) относительно tgx или ctgx .......................................................................................................................+3 очка. Верно решено полученное уравнение............................................................................................................+2 очка. Не сделан отсев лишних корней ............................................................................................................снять1 очко. При другом способе решения Уравнение сведено к однородному уравнению относительно cos x, sin x................................................+2 очка. Решено полученное уравнение........................................................................................................................+3 очка. Не сделан отсев лишних корней ............................................................................................................снять1 очко. Неверно решено элементарное тригонометрическое уравнение........................ не более 3 очков за всю задачу. 3(6). Логарифмы представлены в виде 1+log g(x) ……………………………………………….............+1 очко. f(x) Уравнение сведено к элементарному (вида log g(x) 1 или log g(x)  log h(x))...................+3 очка. f(x) f(x) f(x) Верно решено полученное уравнение............................................................................................................+1 очка. Сделан отбор корней при условии, что уравнение решено верно...............................................................+1 очко. 4(10). Доказано, что угол ABK прямой (использовано касание)………......................................................+1 очко. Доказано, что BK – диаметр  (или эквивалентное утверждение)............................................................+1 очко. Доказано, что AK – диаметр  (или эквивалентное утверждение)............................................................+1 очко. Найдена искомая длина отрезка......................................................................................................................+1 очко. Найден искомый угол.......................................................................................................................................+2 очка. Доказано, что угол ADK прямой (использована вписанность в  ).…........................................................+1 очко. Найдена искомая площадь...............................................................................................................................+3 очка.   – если при этом ответ выражен в виде функции вида sin arctg... и т.п., то 2 очка вместо 3. 5(7). Верно указано (из делимости на 3), какие из карточек можно отбросить.........................................+1 очко. Верно произведен подсчет в случае, когда отброшена одна из двух одинаковых цифр, а на конце 0 (k! способов)………………………………………………………………………..........................................+2 очка. Верно произведен подсчет в случае, когда отброшена одна из двух одинаковых цифр, а на конце 5 (k!-(k-1)!=(k-1)(k-1)! способов) ………………………………………….…….........................................+2 очка. Верно произведен подсчет в случае, когда отброшена цифра 0 или 5 (k!/2 способов) ……...….…..+2 очка. 6(8). Решено неравенство f x 2...................................................................................................................+3 очка.     – если при этом пропущен случай tg h(x)  ctg h(x)  1, то 1 очко вместо 3. Решено неравенство gx 2 ...........................................................................................................................+2 очка. – если в ответе отсутствует изолированная точка, то 1 очко вместо 2. – если при этом не сделан отбор по ОДЗ функции gx, то 0 очков вместо 2. – за неэквивалентное преобразование неравенства 0 очков вместо 2. Верно выписан ответ с учётом ОДЗ обеих функций.....................................................................................+3 очка. 7(8). Утверждается и доказано, что треугольник в основании прямоугольный и точка касания – середина гипотенузы (за отсутствие доказательства снимается 2 балла)..... .....................................................+3 очка. Найдена длина ребра........................................................................................................................................+1 очко. Найден угол.......................................................................................................................................................+1 очко. Найден объём пирамиды .................................................................................................................................+3 очка. Получена неверная конфигурация..........................................................................................0 очков за всю задачу. Итого – 50 очков.