Задание №174889: Дроби
2. Решите неравенство ≤1. 1− x2 −4x+5 Ответ: x∈[−5; 2) ∪ (2; + ∞). Решение. Заметим, что знаменатель неравенства неположителен при всех x . Поэтому неравенство равносильно следующей системе: ⎪ ⎧ x 2 +1≥1− x2 − 4x + 5, ⎪ ⎧ x2 − 4x + 5 ≥ −x 2, ⎨ ⇔ ⎨ ⎪ ⎩1− x2 − 4x + 5 ≠ 0 ⎪ ⎩x ≠ 2. Рассмотрим первое неравенство системы. Если x ≥ 0 , то оно выполняется. Если x < 0 , то возводим обе части в квадрат и получаем x2 − 4x + 5 ≥ 2x2 ⇔ x2 + 4x − 5 ≤ 0 ⇔ x∈ [ − 5;1 ]. С учётом условия x < 0 получаем −5 ≤ x < 0 . Таким образом, первое неравенство системы выполняется при x ≥ −5. Учитывая, что x ≠ 2, получаем x∈[−5; 2) ∪ (2; + ∞).
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Дроби». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Физтех» МФТИ — официальный архив
- Организатор
- МФТИ
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Дроби» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.