Задание №178073: Турнир Ломоносова 2008

9. Любой «чёрный ящик», внутри которого находятся идеальные бата
рейки (одна или несколько, или даже ни одной!) и любым образом
соединённые идеальные резисторы, из которого выведены два провода,
можно представить в виде эквивалентной батарейки с некоторой ЭДС E
и некоторым внутренним сопротивлением r. Измерить эти параметры
можно так. 1. Подключаем к этим выводам идеальный вольтметр —
получаем величину и знак ЭДС. 2. Подключаем к этим выводам иде
альный амперметр — получаем ток короткого замыкания i эквивалент
ной батарейки. Отсюда находится её внутреннее сопротивление r = E/I.
Какой бы мы ни подключили к означенным выводам резистор с сопро
тивлением R (cid:54)= 0, ток через него будет равен I = E/(R + r).
В данном случае можно рассматривать «чёрный ящик» с тремя
выводами: один — это, например, отрицательный вывод батарейки (3), а
два других — это точки подключения переменного резистора — (1) и (2).
Для удобства пару точек (1) и (3) можно формально считать выводами
одной «виртуальной» неидеальной батарейки, а пару точек (2) и (3) —
выводами другой «виртуальной» неидеальной батарейки.
Пусть эти батарейки имеют ЭДС E и E и внутренние сопротивле
1 2
ния r и r соответственно.
1 2
Потенциалы точек подключения концов сопротивления R равны:
x
(E − E )r E (r + R ) + E r E (r + R ) + E r
ϕ = E − 1 2 1 = 1 2 x 2 1; ϕ = 2 1 x 1 2.
1 1 r + r + R r + r + R 2 r + r + R
1 2 x 1 2 x 1 2 x
В силу линейности схемы, содержащей только постоянные рези
сторы и две «эквивалентные батарейки», ток через любой резистор R
k
может быть представлен в виде линейной комбинации
I = α ϕ + β ϕ =
k k 1 k 2
52

α (E (r + R ) + E r ) + β (E (r + R ) + E r ) A + R B
= k 1 2 x 2 1 k 2 1 x 1 2 = k x k .
r + r + R r + r + R
1 2 x 1 2 x
В числителе полученного выражения находится линейная функция
от величины переменного резистора R . Такая функция может обра
x
титься в 0 при изменении R от 0 до бесконечности максимум один
x
раз. Знаменатель всегда положителен. Следовательно, знак тока через
какой-либо постоянный резистор если и изменяется при росте перемен
ного резистора R от нуля до бесконечности, то только один раз.
x
Ответ. Нет, такая схема невозможна.