Задание №178070: Турнир Ломоносова 2008

6. Пусть сечение стержня S, его длина равна L, а глубина погруже
ния его нижнего конца в положении равновесия равна l. Тогда масса
стержня вместе с грузом равна произведению объёма его погруженной
части на плотность воды ρ:
M = ρSl.
Когда цилиндр утапливается, он перемещается вниз на расстояние
x = L − l, а также «выдавливает» из под себя объём воды V = x S.
1 2 1
Центр масс этой воды ранее находился на глубине x = l + (x /2),
2 1
а после погружения цилиндра можно условно считать, что эта вода
«растеклась» по поверхности озера. Таким образом, при погружении
49

цилиндра совершается работа
A = ρV gx − Mgx = ρx Sgx − ρSlgx = ρgx S(x − l) =
2 2 2 1 1 2 1 1 2
(cid:16) x (cid:17) x ρgx2S ρgS(L − l)2
= ρgx S l + 1 − l = ρgx S 1 = 1 = .
1 2 1 2 2 2
Когда стержень вытаскивается из воды, то совершается работа, рав
ная
Mgl Mgl ρSlgl ρgSl2
A = Mgl − = = = ,
1 2 2 2 2
так как весь стержень поднимается на высоту, равную глубине его
погружения l, а в образовавшуюся «ямку» стекает вода. Отсюда
2A
Sl2 = 1.
ρg
Из составленных соотношений можно найти величину S.
(cid:112) (cid:112) (cid:114) ρgSl2 (cid:114) ρgS(L − l)2 (cid:114) ρgS (cid:16)√ (cid:112) (cid:17)
A + A = + = l2 + (L − l)2
1 2 2 2 2
√ √ √
(cid:112) (cid:112) (cid:114) ρgS √ 2 (cid:0) A 1 + A 2 (cid:1)
A + A = · L, откуда S = √
1 2 2 ρgL
Находим массу стержня
√ √ √ 2 (cid:0) √ A + √ A (cid:1) (cid:115) 2A
M = ρSl = ρ S Sl2 = ρ · √ 1 2 · 1 =
ρgL ρg
2 (cid:112) (cid:16)(cid:112) (cid:112) (cid:17) 2 (cid:16) (cid:112) (cid:17)
= A A + A = A + A A
gL 1 1 2 gL 1 1 2
Подставляем численные значения
2 (cid:16) (cid:112) (cid:17) 2 (cid:16) √ (cid:17)
M = 2 Дж + 2 Дж · 16 Дж = 2 + 4 2 кг ≈ 1,53 кг.
м
10
10 · 1 м
с2
Ответ. ≈ 1,53 кг.