Я сам решу.
А застряну — спрошу.

Ответ: 7.
Решение.
Пусть в результате разбиения получены числа x и y , тогда
исходное число имело вид x *10...0 и y , а число, полученное в
результате разбиения -( x + y ). Рассмотрим разность этих чисел:
( x *10...0+ y )-( x + y )=99...9 x .
Так как эта разность кратна 9, то исходное и полученное число имеют одинаковые
остатки от деления на 9. Следовательно, каждый раз, при выполнении указанной
операции этот остаток является инвариантом.
Остаток при делении на 9 числа 19921993...20012002 равен 7.
Верный ответ без обоснований - 1 балл;
есть идея инварианта, но решение не доведено до конца - 5 баллов;
разумная попытка обоснования идеи - 6 баллов.
Список победителей
После фамилии и имени указаны номера школ (и для немосковских школ - город).
I премия
Николаев Тимофей 1514
Пиперски Александр 125
II премия
Белов Борис 2
Девятов Ростислав 2
Колобков Дмитрий 1514
Простов Михаил 151
Сорина Ольга 1825
Швец Виолетта 2
III премия
Авдеев Вадим 2
Артюшкин Андрей 1018
Арутюнов Владимир 1534
Беклемишев Илья 654
Быховская Анна 1514
Волков Антон 1514
Горбачев Денис 1020
Горбун Никита 548
Горбунов Дмитрий 535
Гречинкова Мария 17
Грицай Ярослав 1018
Грушников Андрей 1543
Грязнова Александра 1266
Губенко Максим 218
Дубровский Андрей 1018
Жулидова Анна 4
Заборовский Дмитрий 1189
Золотых Алексей 2 Фрязино
Киселев Александр 1189
Колотыркина Софья 354
Кравец Алексей 354
Лапицкий Антон 1543
Логачёв Юрий 57
Лысов Михаил 1 Дзержинский
Мамыкина ? 1514
Медянкин Никита 1514
Меркулов Максим 16
Нагорный Илья 7
Носихина Мария 1260
Оганесян Дима 2
Ошемкова Наталья 2 Фрязино
Пономарева Елизавета 1255
Прусов Кирилл 7 Фрязино
Райгородская Мария 199
Реброва Лиза 1106
Саблина Рита 1514
Салимов Денис 1106
Сальников Всеволод 1206
Селегей Даниил 1101
Серегин Александр 40
Скопцов Кирилл 1543
Шинкарев Максим 5
Шорин Алексей 15
Яковлев Иван 1249

Решение.
Бананы, вес которых больше 100 г, будем называть большими, а все остальные
бананы - маленькими. Положим все бананы в левую кучку (ее сумма Л) и начнем
перекладывать по одному банану в правую в порядке убывания веса (сумма правой
кучки П). Допустим, что на каком-то шаге Л > П+100, а на следующем
Л- х +100 < П+ х (иначе в один из двух моментов мы получим
искомое разложение на 2 кучки); Л < П+400 (иначе при перекладывании
х неравенство бы сохранилось). Вернем х на место и попробуем
перекладывать другие бананы из Л в П. Пусть при попытке преложить любой
большой банан, будет Л-б+100 < П+б, а при попытке переложить
маленький Л-м > П+м-100. Переложим все маленькие направо по очереди.
Либо в процессе разница станет <100 (мы перекладывам маленькие бананы),
либо переложив все(М) маленькие бананы все имеем Л-М > П+М+100.
Учитывая Л<П+400 получим М < 150, но м > 20, число
маленьких бананов < 7. Так как число тяжелых > 93 и
сумма их < 9850, то среднее арифметическое тяжелых бананов
<106 пусть у - самый легкий из тяжелых у <106 и у
лежит в Л; мы знаем, что Л- у +100 < П+ у
(перложив любой тяжелый, например у , перевесит П хотя бы на 100) и что
Л-м > П+м+100 (при перекладывании м направо Л будет тяжлее хотя бы
на 100), значит у у-м > 100 но у <106, м > 20
значит одно из последних неравенств неверно, и можно уравновесить одним
из этих способов.

Ответ. 146100 иголок.
Решение.
Заметим, что после первых четырех лет жизни елки количество иголок
перестанет меняться, так как каждый день 100 иголок будут вырастать,
и 100 - отмирать. Значит, после того, как Волшебной елке исполнилось 4 года,
количество иголок на ней равно 1461х100 = 146100 и больше не менялось
(т.к. в четырех годах 1461 дней).
Присуствует идея "стабилизации" количества иголок через 4 года - 2 балла;
сформулирован характер изменения количества иголок с учетом високосных
лет - еще 2 балла;
верный подсчет - 1 балл.

Ответ. 1620; 1623; 1625; 1626; 1628 - 1634; 1636; 1637; 1639; 1642
(15 чисел).
Решение.
Условию задачи удовлетворяют наборы вида x =5*3 m +3*5 n ,
причем m может принимать значения 0, 1, 2 , ... , 108,
а n соответственно 108, 107, ... 1, 0.
То есть x =15*108=1620 кг является одним из решений задачи.
Заметим, что 3 упаковки по 5 кг и 5 упаковок по 3 кг весят одинаково.
Выделим наборы из 3 упаковок по 5 кг и 5 упаковок по 3 кг.
Тогда x =5*3 m +3*5 n +5 a +3 b , где а
принимает значения 0, 1, 2; b принимает значения 0, 1, 2, 3, 4. Можно
доказать, что тогда числа а и b восстанавливаются однозначно
(алгоритм Евклида или полный перебор). Следовательно, выражение
c = m + n представляется в виде суммы двух слагаемых
ровно ста девятью способами, то есть с = 108. Таким образом, условию
задачи удовлетворяют все наборы вида
x =1620+5 a +3 b , где a может принимать значения
0, 1, 2, а b - 0, 1, 2, 3, 4 - причем независимо друг от друга.
Приведен один из возможных ответов без обоснований - 1 балл;
один из возможных ответов получен в результате верных рассуждений
- 3 балла;
задача решена полностью исходя из предположения, что должны быть упаковки
обоих видов (15*109=1635 кг) - 5 баллов.

Ответ: например, см. рис. 1 или рис. 2.
рис. 1 рис. 2
Ответ "можно" без примера - 0 баллов.