Задание №180784: Устная олимпиада 2026
2. К окружности с центром O проведены касательные PA и 2. К окружности с центром O проведены касательные PA и PB (A и B — точки касания). На отрезках AB и PB взяли точ- PB (A и B — точки касания). На отрезках AB и PB взяли точки M и K соответственно, так, что M — середина отрезка OK. ки M и K соответственно, так, что M — середина отрезка OK. Докажите, что точки A, M, K и P лежат на одной окружности. Докажите, что точки A, M, K и P лежат на одной окружности.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2026». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. (Ю. Блинков) К окружности с центром O проведены касательные PA и PB (A и B —
точки касания). На отрезках AB и PB взяли точки M и K соответственно, так, что M —
середина отрезка OK. Докажите, что точки A, M, K и P лежат на одной окружности.
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Рис. 8–9.2
1
Решение. Докажем, что ∠MKP + ∠MAP = 180◦, откуда и будет следовать утверждение
задачи (см. рис. 8-9.2).
Проведем радиус OB. Поскольку PB касательная, то ∠OBP = 90◦, то есть треугольник
OBK — прямоугольный. Следовательно, BM = 0,5OK = MK, откуда ∠MKB = ∠MBK.
Кроме того, PA = PB как отрезки касательных, то есть ∠PBA = ∠PAB. Тогда ∠MKB =
= ∠MBK = ∠PBA = ∠PAB = ∠MAP, откуда ∠MKP + ∠MAP = 180◦, что и требовалось.
Используемые формулы
Докажем, что ∠MKP + ∠MAP = 180◦, откуда и будет следовать утверждениеПоскольку PB касательная, то ∠OBP = 90◦, то есть треугольникСледовательно, BM = 0,5OK = MK, откуда ∠MKB = ∠MBK.Кроме того, PA = PB как отрезки касательных, то есть ∠PBA = ∠PAB.Тогда ∠MKB == ∠MBK = ∠PBA = ∠PAB = ∠MAP, откуда ∠MKP + ∠MAP = 180◦, что и требовалось.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.