Задание №180789: Устная олимпиада 2026

5. (Д. Прокопенко) Окружности ω и ω пересекаются в точках A и B. Точки C и D
1 2
движутся по дуге AB окружности ω так, что точки A и C лежат в разных полуплоскостях
1
относительно прямой BD и CD = 1. Отрезки AC и BD пересекают окружность ω в точках
2
N и M соответственно. Прямые BN и AM пересекают соответственно прямые AD и BC
в точках P и Q. Докажите, что прямая PQ касается фиксированной окружности.
Решение. Докажем, что длина отрезка PQ постоянна, DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
а точки A, P, Q и B лежат на фиксированной окружно- CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
сти, откуда и будет следовать утверждение задачи. Дей-
ствительно, хорды равной длины одинаково удалены от
центра, то есть отрезок PQ будет касаться окружности с
фиксированным центром O (центром окружности, на ко-
торой лежат указанные четыре точки) и радиусом, рав- PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
ным расстоянию от центра O до хорды PQ.
NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ
Заметим, что ∠DAC = ∠DBC, а ∠ANB = ∠AMB, как
опирающиеся на одну дугу (см. рис. 8–9.5).
Тогда ∠APB = ∠ANB − ∠DAC = ∠AMB − ∠DBC =
= ∠AQB, то есть точки A, P, Q и B лежат на одной
окружности. AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Кроме того, ∠DAC и ∠ANB фиксированы, посколь-
ку опираются на фиксированные дуги. Следовательно,
Рис. 8–9.5
3

∠APB также фиксирован, то есть точки A, P, Q и B лежат на окружности фиксированно-
го радиуса.

Осталось показать, что длина хорды PQ фиксирована, то есть фиксирован, например,
угол PBQ.
Заметим, что ∠PBQ = ∠PBD + ∠DBQ = ∠APB − ∠ADB + ∠DBC, где ∠APB, ∠ADB и
∠DBC — фиксированы, поскольку опираются на фиксированные дуги. Следовательно,
угол PBQ фиксирован, то есть фиксирована длина хорды PQ, что и требовалось.

Комментарий.
Решение можно было записать, используя, что угол между хордами (секущими) равен полусумме (по-
луразности) дуг, которые они высекают на окружности.