Задание №180785: Устная олимпиада 2026
3. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BE 3. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BE и CF. Точка K — проекция точки пересечения медиан треугольи CF. Точка K — проекция точки пересечения медиан треугольника на сторону BC. Докажите, что FK + EK ≤ BC. ника на сторону BC. Докажите, что FK + EK ≤ BC.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2026». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. (Д. Крохалев) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BE и CF. Точка
K — проекция точки пересечения медиан треугольника на сторону BC. Докажите, что
FK + EK ≤ BC.
Решение. Пусть AM — медиана, а AH — высота треугольника ABC. Заметим, что
EM = FM = 0,5BC как медианы прямоугольных треугольников. Если AB = AC, то точ-
ки K и M совпадают и неравенство обращается в равенство. Предположим, что AB 6= AC.
Тогда точка K лежит между точками M и H (см. рис. 8-9.3). Кроме того, высоты треуголь-
ника являются биссектрисами его ортотреугольника, то есть ∠FHB = ∠EHC.
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Рис. 8–9.3
Пусть E — образ точки E при симметрии относительно прямой BC. Тогда точки E , H
1 1
и F лежат на одной прямой. Кроме того, E M = EM и E K = EK в силу симметрии. Рас-
1 1
смотрим треугольник FME . Точка K — внутри него, так как она лежит между точками
1
M и H. Используя "неравенство резинки"получим: FK + EK = FK + E K < FM + E M =
1 1
= FM + EM = BC, что и требовалось.
Комментарий.
Используемые формулы
EM = FM = 0,5BC как медианы прямоугольных треугольников.Если AB = AC, то точ-Предположим, что AB 6= AC.ника являются биссектрисами его ортотреугольника, то есть ∠FHB = ∠EHC.Кроме того, E M = EM и E K = EK в силу симметрии.Используя "неравенство резинки"получим: FK + EK = FK + E K < FM + E M =
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.