Задание №180783: Устная олимпиада 2026

1. (Т. Праведников, 10 класс) В параллелограмме ABCD проведен перпендикуляр DX
к диагонали AC. Докажите, что середина отрезка BX равноудалена от A и C.

Решение. Первый способ. Пусть K — середина BX, O — точка пересечения диагоналей
параллелограмма (см. рис. 8-9.1а). Докажем, что K лежит на серединном перпендикуляре
к диагонали AC, откуда и будет следовать утверждение задачи. Поскольку O — середина
BD, то OK — средняя линия треугольника DBX. Следовательно, прямая OK параллельна
DX, то есть перпендикулярна AC. Осталось заметить, что O также является серединой
отрезка AC, то есть прямая OK является серединным перпендикуляром к отрезку AC, что
и требовалось.
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM



BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO


AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
Рис. 8–9.1а Рис. 8–9.1б
Второй способ. Продлим медиану AK треугольника ABX на свою длину, то есть до-
строим треугольник ABX до параллелограмма ABMX (см. рис. 8-9.1б). Тогда отрезки MX

и AB равны и параллельны. Учитывая равенство и параллельность отрезков AB и CD, по-
лучим, что отрезки MX и CD также равны и параллельны, то есть MCDX — параллело-
грамм. Следовательно, прямые CM и DX параллельны и ∠MCA = 90◦, то есть треугольник
MCA — прямоугольный с гипотенузой AM. Осталось воспользоваться свойством медианы
прямоугольного треугольника: CK = 0,5AM = AK.
Комментарий.
Также можно было опустить перпендикуляр BY на диагональ AC и доказать, что O — середина отрезка
XY. Это, в свою очередь, можно получить, например, из равенства треугольников ABY и CDX.