Задание №180733: Устная олимпиада 2022
1. Дана равнобокая трапеция ABCD. Биссектриса угла B 1. Дана равнобокая трапеция ABCD. Биссектриса угла B пересекает основание AD в точке L. Докажите, что центр пересекает основание AD в точке L. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника BLD, лежит на окружности, описанной около треугольника BLD, лежит на окружности, описанной около трапеции. окружности, описанной около трапеции.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2022». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2022
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2022
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2022» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. (Ю. Блинков) Дана равнобокая трапеция ABCD. Биссектриса угла B пересекает ос-
нование AD в точке L. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника
BLD, лежит на окружности, описанной около трапеции.
Решение. Первый способ. Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника
BLD, а ∠ABC = ∠BCD = 2α (см. рис. 8–9.1а). Тогда ∠ALB = ∠CBL = α < 90◦, а ∠BLD =
= 180◦−α > 90◦. Следовательно, вписанный угол BLD и центральный угол BOD опираются
на дополняющие друг друга до окружности дуги и ∠BOD = 2α = ∠BCD. Кроме того, точки
O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой BD. Следовательно, точки B, C,
O и D лежат на одной окружности, то есть точка O лежит на окружности, описанной около
трапеции.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
Рис. 8–9.1а Рис. 8–9.1б
Второй способ. Пусть O — точка пересечения серединного перпендикуляра к BD и дуги
BCD окружности, описанной около трапеции (см. рис. 8–9.1б). Докажем, что O также ле-
жит на серединном перпендикуляре к отрезку BL, откуда и будет следовать утверждение
задачи. Заметим, что BO = DO, то есть ∠BAO = ∠BDO = ∠OBD = ∠OAD, то есть AO — бис-
сектриса угла BAD. Осталось заметить, что треугольник BAL — равнобедренный, то есть
прямая AO является серединным перпендикуляром к отрезку BL.
Используемые формулы
BLD, а ∠ABC = ∠BCD = 2α (см.Тогда ∠ALB = ∠CBL = α < 90◦, а ∠BLD == 180◦−α > 90◦.на дополняющие друг друга до окружности дуги и ∠BOD = 2α = ∠BCD.Заметим, что BO = DO, то есть ∠BAO = ∠BDO = ∠OBD = ∠OAD, то есть AO — бис-
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.