Задание №180727: Устная олимпиада 2021
1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, E — про- 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, E — произвольная точка этой окружности. Известно, что расстояния извольная точка этой окружности. Известно, что расстояния от точки E до прямых AB, AC, BD и CD равны a, b, c и d от точки E до прямых AB, AC, BD и CD равны a, b, c и d соответственно. Докажите, что ad = bc. соответственно. Докажите, что ad = bc.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2021». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. (Е. Бакаев) В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы A и C острые и равные между
собой, а угол ABD — прямой. Точка M — середина отрезка AC. Докажите, что прямые
MB и CD перпендикулярны.
1
Решение. Первый способ. Пусть K — основание перпендикуляра, опущенного из A на
прямую CD (см. рис. 8–9.3а). Тогда четырёхугольник ABDK — вписанный и ∠BAD =
= ∠BKD. Следовательно, треугольник KBC равнобедренный. Пусть BH его высота. Дока-
жем, что она проходит через точку M, откуда и следует утверждение задачи. Заметим,
что BH параллельна AK и KH = CH, то есть BH содержит среднюю линию треугольника
ACK и проходит через точку M.
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
Рис. 8–9.3а Рис. 8–9.3б
Второй способ. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCH (см. рис. 8–
9.3б). Докажем, что H — ортоцентр треугольника BCD, откуда и будет следовать утвер-
ждение задачи.
Можно рассуждать разными способами.
А) Пусть H — ортоцентр, тогда прямая CH перпендикулярна BD, то есть параллельна
1 1
AB. Кроме того, ∠BH D = 180◦ − ∠BCD = 180◦ − ∠BAD. Следовательно, четырехугольник
1
ABH D — вписанный и ∠AH D = ∠ABD = 90◦. Учитывая перпендикулярность DH и BC,
1 1 1
получим, что BC параллельна AH , то есть ABCH — параллелограмм и точки H и H
1 1 1
совпадают.
Б) Пусть ∠BAD = ∠BCD = α. Тогда AB = CH = BDctg α. Воспользуемся следующим
фактом.
В треугольнике со стороной a и противолежащим острым углом α расстояние от
вершины этого угла до ортоцентра треугольника равно actg α.
Заметим, что прямая CH параллельна прямой AB, то есть перпендикулярна прямой
BD и CH = BDctg α. Следовательно, H — ортоцентр, что и требовалось.
Комментарии.
Используемые формулы
Тогда четырёхугольник ABDK — вписанный и ∠BAD == ∠BKD.что BH параллельна AK и KH = CH, то есть BH содержит среднюю линию треугольникаКроме того, ∠BH D = 180◦ − ∠BCD = 180◦ − ∠BAD.ABH D — вписанный и ∠AH D = ∠ABD = 90◦.Б) Пусть ∠BAD = ∠BCD = α.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.