Задание №180737: Устная олимпиада 2022
5. Даны окружность и проходящая через её центр прямая 5. Даны окружность и проходящая через её центр прямая AB (точки A и B фиксированы, A вне окружности, а B — AB (точки A и B фиксированы, A вне окружности, а B — внутри). Найдите ГМТ пересечения прямых AX и BY, где внутри). Найдите ГМТ пересечения прямых AX и BY, где XY — произвольный диаметр окружности. XY — произвольный диаметр окружности.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2022». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2022
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2022
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2022» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5) построим точку C как пересечение прямой QI с прямой, перпендикулярной PQ и про-
ходящей через M.
Третий способ. Сначала построим точку W — середи-
ну дуги BC окружности, описанной около треугольника AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
ABC. Тогда для построения точек B и C будет достаточ-
но использовать, что W B = W C = W I (лемма о трезубце).
Заметим, что точка W является пересечением биссектрисы
угла A и серединного перпендикуляра к отрезку BC. Тогда PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
нам достаточно построить прямую AI, то есть уметь стро- QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
ить угол W IQ. Пусть ∠B = β. Тогда ∠AIC = 90◦ + 0,5β,
а ∠W IQ = 90◦ − 0,5β = ∠IPQ.
Отсюда вытекает следующий способ построения:
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Используемые формулы
но использовать, что W B = W C = W I (лемма о трезубце).Пусть ∠B = β.Тогда ∠AIC = 90◦ + 0,5β,а ∠W IQ = 90◦ − 0,5β = ∠IPQ.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.