Задание №176204: ОММО 2014
Задача 9. В городе 200 жителей. Часть из них – рыцари, которые всегда говорят правду, остальные – лжецы, которые всегда лгут. Каждый горожанин живет в одном из четырех кварталов (А, Б, В и Г). Каждому задали четыре вопроса: «Вы живете в квартале А?», «Вы живете в квартале Б?», «Вы живете в квартале В?», «Вы живете в квартале Г?». На первый вопрос утвердительно ответило 42 жителей, на второй – 100, на третий – 80 и на четвёртый – 68. В каком квартале рыцарей живет меньше, чем лжецов, и на сколько?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2014» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 6. Предположим, что T – период функции y = f (x). Из условия получаем:
sin x =−f (x) 0=−,−4πf (−x ) f−(=x−−T) 0,4 f (x T πs)in (x T ).
Поскольку это равенство верно для всех x , число T является периодом функции y = sin x ,
т.е. T =π2 n, где n – некоторое натуральное число. Из данного уравнения получаем:
f (+x) =−0,π4=f (x − π) +−sin x =0,4(0,4 f (x 2 ) sin x) sin x
+ = − + =−0,4π (0,4(0,4 f (x 3 ) sin x) sin x) sin x
=... = 0,4 ( 0,4(...(0,4 f −(x π2 −n) s+in x+) ...− sin+x) sin=x ) sin x
− =−0,+42n f (x−) +si−n x(0,42n−1 0,42n−2 0,42n−3 ... 0,4 1).
Тогда
1−0,42n
f (x)(1−−=+0,−4−2n) = sin x(1 0,4 0,42 ... 0,42n−1) sin x .
1+0,4
5
Следовательно, f (x) = sin x.
7
5
Ответ: f (x) = sin x.
7
Используемые формулы
Предположим, что T – период функции y = f (x).sin x =−f (x) 0=−,−4πf (−x ) f−(=x−−T) 0,4 f (x T πs)in (x T ).Поскольку это равенство верно для всех x , число T является периодом функции y = sin x ,T =π2 n, где n – некоторое натуральное число.f (+x) =−0,π4=f (x − π) +−sin x =0,4(0,4 f (x 2 ) sin x) sin x+ = − + =−0,4π (0,4(0,4 f (x 3 ) sin x) sin x) sin x
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.