Задание №171955: Геометрия

9 Решение. а) Несложно показать, что 𝐴𝐵𝐶𝐷 – равнобедренная трапеция или прямоугольник, поэтому вокруг 𝐴𝐵𝐶𝐷 можно описать окружность (назовём её Ω). Диагонали четырёхугольника 𝐶𝑂𝐷𝑇 точкой пересечения делятся пополам, поэтому он параллелограмм, и при этом ∠𝐶𝑇𝐷 = ∠𝐶𝑂𝐷 = 180∘ − ∠𝐴𝑂𝐷 = 120∘. Поскольку ∠𝐶𝐴𝐷 = 60∘, в четырёхугольнике 𝐶𝐴𝐷𝑇 сумма противоположных углов равна 180∘, и вокруг него также можно описать окружность. Следовательно, все 5 точек 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑇, 𝐷 лежат на окружности Ω. Углы 𝐴𝑇𝐵 и 𝐴𝐶𝐵 вписаны в Ω и опираются на одну дугу, поэтому они равны, и ∠𝐴𝑇𝐵 = 60∘. Далее отметим, что ∠𝐷𝐵𝑇 = ∠𝐷𝐶𝑇 (вписанные, опираются на одну дугу), ∠𝐷𝐶𝑇 = ∠𝐵𝐷𝐶 (за счёт того, что 𝐵𝐷 ‖ 𝐶𝑇), ∠𝐵𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐶 (трапеция равнобокая). Отсюда следует, что ∠𝐴𝐵𝑇 = ∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝑇 = ∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐵𝐴𝐶 = 180∘−∠𝐴𝑂𝐵 = 60∘. Итак, доказано, что в треугольнике 𝐴𝐵𝑇 два угла равны 60∘, поэтому он равносторонний. б) По теореме косинусов из треугольника 𝐴𝐵𝑂 находим, что 𝐴𝐵2 = 𝐴𝑂2 + 𝐵𝑂2 − 2𝐴𝑂 · 𝐵𝑂 cos120∘ = √ √ 22 + 42 + 2 · 4 = 28. Тогда площадь 𝑆 треугольника 𝐴𝐵𝑇 равна 𝐴𝐵2 3 = 7 3. Площадь трапеции 𝑆 1 4 √ 2 находим как полупроизведение диагоналей, умноженное на синус угла между ними: 𝑆 = 1 ·6·6· 3 = √ 2 2 2 9 3. Отсюда 𝑆 : 𝑆 = 7 : 9. 1 2 ○c МФТИ, 2021