Задание №171932: Геометрия

81 Решение. а) Несложно показать, что 𝐴𝐵𝐶𝐷 – равнобедренная трапеция, поэтому вокруг неё можно описать окружность (назовём её Ω). Диагонали четырёхугольника 𝐶𝑂𝐷𝑇 точкой пересечения делятся пополам, поэтому он параллелограмм, и при этом ∠𝐶𝑇𝐷 = ∠𝐶𝑂𝐷 = 180∘ −∠𝐴𝑂𝐷 = 120∘. Поскольку ∠𝐶𝐴𝐷 = 60∘, в четырёхугольнике 𝐶𝐴𝐷𝑇 сумма противоположных углов равна 180∘, и вокруг него также можно описать окружность. Следовательно, все 5 точек 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑇, 𝐷 лежат на окружности Ω. Углы 𝐴𝑇𝐵 и 𝐴𝐶𝐵 вписаны в Ω и опираются на одну дугу, поэтому они равны, и ∠𝐴𝑇𝐵 = 60∘. Далее отметим, что ∠𝐷𝐵𝑇 = ∠𝐷𝐶𝑇 (вписанные, опираются на одну дугу), ∠𝐷𝐶𝑇 = ∠𝐵𝐷𝐶 (за счёт того, что 𝐵𝐷 ‖ 𝐶𝑇), ∠𝐵𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐶 (трапеция равнобокая). Отсюда следует, что ∠𝐴𝐵𝑇 = ∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝑇 = ∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐵𝐴𝐶 = 180∘−∠𝐴𝑂𝐵 = 60∘. Итак, доказано, что в треугольнике 𝐴𝐵𝑇 два угла равны 60∘, поэтому он равносторонний. б) По теореме косинусов из треугольника 𝐴𝐵𝑇 находим, что 𝐴𝐵2 = 𝐴𝑂2 + 𝐵𝑂2 − 2𝐴𝑂 · 𝐵𝑂 cos120∘ = √ √ 42 + 52 + 4 · 5 = 61. Тогда площадь 𝑆 треугольника 𝐴𝐵𝑇 равна 𝐴𝐵2 3 = 61 3. Площадь трапеции 1 4 4 𝑆 находим по формуле полупроизведение диагоналей, умноженное на синус угла между ними: 𝑆 = 2 √ √ 2 1 · 9 · 9 · 3 = 81 3. Отсюда 𝑆 : 𝑆 = 61 : 81. 2 2 4 1 2 ○c МФТИ, 2021 “Физтех–2021 математика. Решения 9 класс” ВАРИАНТ 16. ЧАСТЬ 1 1. [5 баллов] Высоты 𝐶𝐹 и 𝐴𝐸 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐻. Точки 𝑀 и 𝑁 – середины отрезков 𝐴𝐻 и 𝐶𝐻 соответственно. Известно, что 𝐹𝑀 = 1, 𝐸𝑁 = 4, и при этом 𝐹𝑀 ‖ 𝐸𝑁. Найдите ∠𝐴𝐵𝐶, площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 и радиус описанной около него окружности. √ √ Ответ: ∠𝐴𝐵𝐶 = 60∘, 𝑆 = 18 3, 𝑅 = 2 7. △𝐴𝐵𝐶 Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Так как 𝐹𝑀 и 𝐸𝑁 – медианы треугольников 𝐴𝐹𝐻 и 𝐶𝐸𝐻, то 𝐻𝑀 = 𝐴𝑀 = 𝐹𝑀 = 1, 𝐶𝑁 = 𝐸𝑁 = 𝐻𝑁 = 4. Обозначим ∠𝐴𝐻𝐹 = ∠𝐶𝐻𝐸 = 𝛼. Тогда ∠𝐸𝐻𝐹 = 180∘ − 𝛼, ∠𝐸𝐵𝐹 = 𝛼 (так как в четырёхугольнике 𝐵𝐹𝐻𝐸 углы 𝐸 и 𝐹 прямые). Далее находим: ∠𝑀𝐹𝐻 = 𝛼 (треугольник 𝑀𝐹𝐻 равнобедренный), ∠𝑁𝐸𝐻 = 𝛼 (треугольник 𝑁𝐸𝐻 равнобедренный), ∠𝐸𝑁𝐻 = 180∘ − 2𝛼. Поскольку 𝐸𝑁 ‖ 𝐹𝑀, углы 𝑀𝐹𝐻 и 𝑁𝐸𝐻 равны как накрест лежащие, откуда 𝛼 = 180∘ − 2𝛼 и 𝛼 = 60∘. Таким образом, ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝛼 = 60∘. В треугольнике 𝐴𝐶𝐻 известно, что 𝐶𝐻 = 8, 𝐴𝐻 = 4, ∠𝐴𝐻𝐶 = 120∘. По теореме косинусов находим, √ что 𝐴𝐶2 = 82 + 22 − 2 · 8 · 2 · cos120∘ = 64 + 4 + 16 = 84, 𝐴𝐶 = 2 21. Отсюда радиус описанной около √ √ треугольника 𝐴𝐵𝐶 окружности равен 𝐴𝐶 = 2 √ 21 = 2 7. 2sin∠𝐴𝐵𝐶