Задание №175378: Задание 8

8. На экране калькулятора горит число 41. За одну операцию можно увеличить или уменьшить число
на экране на 33 или 34. При этом запрещается получать числа, меньшие 1, и числа, большие 99. Че-
рез 2025 операций на экране оказалось число 50. Докажите, что в некоторый момент на экране бы-
ло число 67. (И. Рубанов, А. Кузнецов)
Первое решение. Назовем натуральные числа от 34 до 66 средними, а от 1 до 33 и от 67 до 99 —
крайними. Заметим, что каждая операция, кроме операции прибавления 34 к 33 и вычитания 34 из 67
(назовем эти две операции особыми) превращает среднее число в крайнее, а крайнее — в среднее.
Исходное число 41 — среднее. Поэтому если особые операции не используются, то после каждой не-
четной по счету операции, в том числе и после 2025-й, на экране должно находиться крайнее число.
Но итоговое число 50 — среднее. Значит, хотя бы раз была использована особая операция, и перед
ней или после неё на экране было число 67. Второе решение. Заметим, что после любых двух сде-
ланных подряд операций число на экране по модулю 67 изменяется не более, чем на единицу. После
первой операции оно будет по модулю 67 сравнимо с 7 или 8, а в конце должно стать равным 50. Ес-
ли по пути оно пройдет через 0, то задача решена. Если же нет, то в какой-то момент оно после двух
последовательных операций увеличится с 33 до 34. Но тогда после первой из этих двух операций оно
станет сравнимо с 0, что и требовалось.