Задание №174936: Уравнения
8 Ответ: r = 2, R = 3. Решение. Введём обозначения: A – центр большей окружности, B – центр меньшей окружности, r – радиус меньшей окружности, R – радиус большей окружности, AB ∩ PQ = H , ∠QAH =α. Рассмотрим прямоугольную трапецию ABTQ. BT = r , AB = R + r , AQ = R , QT = 2 6 . Из точки B опустим перпендикуляр BE на отрезок AQ . Из прямоугольного треугольника ABE по теореме Пифагора получаем, что (R + r)2 − (R − r)2 = ( 2 6 )2 , Rr = 6 . sinα= TQ = 2 6 . AB R + r Из треугольника AQH получаем, что AQ ⋅sinα= QH , или, используя введённые обозначения: 2 6 6 6 R ⋅ = . R + r 5 Решая полученные уравнения, находим, что r = 2, R = 3.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Уравнения». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Физтех» МФТИ — официальный архив
- Организатор
- МФТИ
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Уравнения» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.