Задание №170883: Задание 8
8 Задача 5.1 Про число 𝑋 известно, что оно делится на 48 и имеет ровно 2026 делителей. Найдите остаток при делении на 9 максимального из всех 𝑋, удовлетворяющих условиям. Решение. Заметим, что 2026 = 2 · 1013 и 1013 – простое. Тогда 𝑋 = 𝛼 · 1 𝛼1012 – разложение числа 𝑋 на простые множители. Теперь заметим, что 2 48 = 3 · 24. Тогда заметим, что 𝑋 определяется однозначно – это 3 · 21012. Остаётся заметить, что 23 ≡ −1, то есть 9 3 · 21012 = 6 · 21011 = 6 · (︀ 23)︀337 ≡ 6 · (−1) ≡ 3. 9 9 Ответ: 3. ■ Задача 5.2 Про число 𝑋 известно, что оно делится на 80 и имеет ровно 2026 делителей. Найдите остаток при делении на 9 максимального из всех 𝑋, удовлетворяющих условиям. Ответ: 8. Задача 5.3 Про число 𝑋 известно, что оно делится на 56 и имеет ровно 2026 делителей. Найдите остаток при делении на 9 максимального из всех 𝑋, удовлетворяющих условиям. Ответ: 4. Задача 5.4 Про число 𝑋 известно, что оно делится на 44 и имеет ровно 2026 делителей. Найдите остаток при делении на 9 максимального из всех 𝑋, удовлетворяющих условиям. Ответ: 5.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 8» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Курчатов» — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Курчатов» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 8» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.