Задание №166076: Геометрия
Задание 8. Вариант 2. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 выполнено равенство ∠𝐴 = 2∠𝐶. Биссектрисы 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 пересекаются в точке 𝑋. Найдите 𝐷𝑋, если 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐷 = 4.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: ВсОШ в Москве — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- ВсОШ в Москве — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задание 8. Вариант 1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 выполнено равенство ∠𝐴 = 2∠𝐶. Биссектрисы 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 пересекаются
в точке 𝑋. Найдите 𝐷𝑋, если 𝐴𝐵 = 5, 𝐵𝐷 = 3.
Ответ: 2
Решение.
Для начала обозначим ∠𝐶 = 𝛼, тогда по условию ∠𝐴 = 2𝛼, т.е. ∠𝐶𝐴𝐷 = ∠𝐷𝐴𝐵 = 𝛼. Тогда по сумме углов
треугольника 𝐴𝐷𝐶 выполнено ∠𝐴𝐷𝐶 = 180◦ − 2𝛼, а ∠𝐴𝐷𝐵 = 2𝛼.
Будем доказывать, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 + 𝐷𝑋. Отметим на стороне 𝐴𝐵 такую точку 𝑌,что 𝐵𝑌 = 𝐵𝐷. Тогда по первому
признаку (𝐵𝑌 = 𝐵𝐷,∠𝑌𝐵𝑋 = ∠𝐷𝐵𝑋, 𝐵𝑋 = 𝐵𝑋) треугольники 𝐵𝐷𝑋 и 𝐵𝑌𝑋 равны. Тогда ∠𝐵𝑌𝑋 = 2𝛼 = ∠𝐵𝐴𝐶,
что означает, что 𝑋𝑌 ∥ 𝐴𝐶.
Используемые формулы
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 выполнено равенство ∠𝐴 = 2∠𝐶.Найдите 𝐷𝑋, если 𝐴𝐵 = 5, 𝐵𝐷 = 3.Для начала обозначим ∠𝐶 = 𝛼, тогда по условию ∠𝐴 = 2𝛼, т.е.∠𝐶𝐴𝐷 = ∠𝐷𝐴𝐵 = 𝛼.треугольника 𝐴𝐷𝐶 выполнено ∠𝐴𝐷𝐶 = 180◦ − 2𝛼, а ∠𝐴𝐷𝐵 = 2𝛼.Будем доказывать, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 + 𝐷𝑋.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.