Задание №174651: Геометрия

6 Решение. Окружность вписана в углы A и B трапеции, следовательно, её центр лежит на пересечении биссектрис этих углов. Поскольку угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых равен 90 , получаем AOB  90 . 7 © МФТИ, 2014 Решения олимпиады “Физтех–2014”, билет 3 По теореме Пифагора из треугольника AON находим, что AO 2  AN 2  NO 2  13 . Треугольник ABC равнобедренный, так как BO является его высотой и биссектрисой. Значит, BO также является медианой, поэтому CO  AO  13 . Пусть CADBAC BCA. Из треугольника AON 2 3 2 находим, что tg , cos , sin . 3 13 13 Поскольку вокруг четырёхугольника KOCD можно описать окружность, сумма его противоположных углов равна 180  . Следовательно, OCD  90 . Из прямоугольного треугольника ACD находим, что AC 26 4 13 CO 13 AD   , CD  AC  tg . Из треугольника BOC получаем, что BC   . cos 3 3 cos 3 1 1 Находим площадь трапеции: S  MK BC  AD 413 26 . 2 2 Отрезок OD является диаметром окружности  . Из треугольника COD получаем: 208 325 5 OD 2 CO 2  CD 2 13  ; OD 10 . Следовательно, радиус r окружности  равен 9 9 3 5 13 . 6