Задание №166070: Задание 6

Задание 6. Вариант 1. У Василисы есть красные и белые кубики, причём красных на 2 больше, чем белых.
Василиса сложила из всех кубиков большой куб без дырок и внутренних полостей, полностью красный снаружи.
Какое наименьшее количество красных кубиков у неё могло быть?
Ответ: 501
Решение.
Так как красных кубиков на 2 больше, чем белых, суммарное количество кубиков чётно. Следовательно, сторона
большого кубика содержит чётное количество кубиков. Обозначим это количество через 𝑛. Тогда всего кубиков 𝑛3.
Заметим, что все белые кубики не могут примыкать к границе, а потому содержатся во внутреннем кубе со сто-
роной 𝑛 − 2. Поэтому число белых кубиков не более (𝑛 − 2)3, а красных — не менее 𝑛3 − (𝑛 − 2)3. Отсюда получаем
неравенство 𝑛3−(𝑛−2)3 ⩽ (𝑛−2)3+2, или 𝑛3−2 ⩽ 2(𝑛−2)3. Вспомним, что 𝑛 чётно. Найдём первое 𝑛, удовлетворяющее
этому неравенству:

𝑛 = 2 : 23 − 2 ⩽ 2 · 03;6 ⩽ 0 — неверно.
𝑛 = 4 : 43 − 2 ⩽ 2 · 23;62 ⩽ 16 — неверно.
𝑛 = 6 : 63 − 2 ⩽ 2 · 43;214 ⩽ 128 — неверно.
𝑛 = 8 : 83 − 2 ⩽ 2 · 63;510 ⩽ 432 — неверно.

𝑛 = 10 : 103 − 2 ⩽ 2 · 83;998 ⩽ 1024 — верно.
103 + 2 103 − 2
При 𝑛 = 10 число красных кубиков равно = 501, а число белых кубиков — = 499. Нетруд-
2 2
но видеть, что требуемую конструкцию сложить можно: Василисе достаточно сначала собрать красную границу
из 103 − 83 = 488 < 501 кубиков, а оставшиеся белые и красные кубики расположить внутри в любом порядке.