Задание №175326: Задание 6

6. В эксперименте принимают участие несколько (один или больше) реальных людей и несколь-
ко ИИ (искусственных интеллектов). Каждый участник отправляет всем остальным по «мему»
(смешной картинке), но, так как ИИ воспринимает юмор не совсем так, как люди, человече-
ские мемы смешны всем, а мемы ИИ — только таким же ИИ.
По результатам эксперимента оказалось, что количество «неловких» обменов мемами, когда
засмеялся только один из двух участников обмена, равно 520. А каково наименьшее возмож-

ное количество «комфортных» ситуаций, когда оба участника засмеялись над мемами друг
друга? ( П. Д. Муленко)
Ответ: 515.

Решение. Обозначим число людей, участвующих в эксперименте, за𝑥, а число ИИ — за𝑦. Об-
мен будет неловким, только когда в нём принимают участие один человек и один ИИ, поэтому
количество неловких обменов равно количеству пар вида «человек—ИИ», то есть произведе-
нию числа людей и числа ИИ: 𝑥𝑦 = 520.

В комфортной же ситуации, поскольку смеются оба участника обмена, участвуют или два че-
ловека, или два ИИ. Каждый из 𝑥 человек посылает по одному мему остальным 𝑥 − 1 людям,
откуда количество комфортных обменов между людьми равно 𝑥(𝑥−1) (пополам, так как каж-
2
дый обмен мы учитываем дважды). Аналогично, количество комфортных обменов между ИИ
равно 𝑦(𝑦−1).
2
Итого, общее количество комфортных ситуаций равно 𝑥(𝑥−1) + 𝑦(𝑦−1). Переберём возможные
2 2
пары 𝑥 и𝑦, дающие в произведении 520: поскольку 520 = 13·5·23, то его делитель, не кратный
13, равен 1, 2, 4, 8, 5, 10, 20 или 40. Наименьшее значение получается при 𝑥 = 20 и 𝑦 = 26 (или

8


наоборот):
20 · (20 − 1) 26 · (26 − 1)
+ = 10 · 19 + 13 · 25 = 515.
2 2
Примечание. Найти минимальное количество комфортных ситуаций можно и без перебо-
ра — например, через формулы сокращённого умножения:

𝑥(𝑥 − 1) 𝑦(𝑦 − 1) 𝑥2 +𝑦2 − 𝑥 −𝑦 (𝑥 +𝑦)2 − (𝑥 +𝑦) − 2𝑥𝑦 (𝑥 +𝑦)(𝑥 +𝑦 − 1)
+ = = = − 𝑥𝑦.
2 2 2 2 2
Это выражение будет минимальным при наименьшем возможном значении 𝑥 +𝑦 (то есть при
наименьшем общем числе участников), которое, при фиксированном произведении, будет
достигаться при наименьшей возможной разности между 𝑥 и 𝑦, то есть при 20 и 26.

Критерии. Приведён только ответ без объяснения — 2 балла.
Написана (или объяснена) формула для подсчёта комфортных ситуаций — +2 балла.
При верном ходе решения найдено не наименьшее возможное значение — не более 4 баллов.

9



Л А Е Д Международная математическая олимпиада
У И
М Н
Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
2025-2026 учебный год. Заключительный этап
Е
И
Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Решения задач