Задание №175264: Задание 6

6. Павел Дмитриевич владеет заводом по производству сувенирных календарей.
Календарь изготавливается из двух кубиков и наклеек с цифрами: надо накле-
ить на каждую грань обоих кубиков по наклейке так, чтобы с их помощью
можно было сложить любой день месяца (то есть любое число от 01 до 31;

на рисунке представлен пример числа 18). Завод гордится тем, что каждое его изделие отли-
чается от других. Сколько всего различных календарей может выпустить завод?
Два календаря считаются одинаковыми, если для каждого кубика из первого календаря есть
такой же кубик во втором. В свою очередь, два кубика одинаковы, если можно поставить их
рядом так, чтобы с каждой из шести сторон они выглядели одинаково, то есть на них были
одинаковые наклейки в одинаковом положении. Наклейки с цифрами 0 и 8 имеют центр сим-
метрии, остальные — нет. ( М. В. Карлукова)

Решение. Так как среди чисел присутствуют 11 и 22, цифры 1 и 2 должны быть на обоих
кубиках. Более того, поскольку первые 9 дат от 01 до 09 содержат 0, цифра 0 тоже должна
присутствовать на обоих кубиках (так как не все цифры от 3 до 9 поместятся на одном кубике).

Таким образом, на каждом кубике 3 грани заняты цифрами 0, 1 и 2, то есть остаётся 6 мест для
остальных цифр от 3 до 9. Это 7 различных цифр, но две из них — 6 и 9 — можно заменить
одной, поскольку другая получается из неё переворотом.

Итак, нужно распределить цифры от 3 до 8 по двум кубам (на каждом по три цифры). Вы-
6!
брать 3 цифры на первый кубик можно 𝐶3 = = 20 способами, но порядок кубиков нам
6 3! · 3!
не важен — например, разбиение цифр на {3, 4, 5} для первого кубика и {6, 7, 8} для второго
равнозначно разбиению на {6, 7, 8} для первого кубика и {3, 4, 5} для второго — поэтому есть
всего 20/2 = 10 различных способов выбрать цифры на каждый из кубиков.
Рассмотрим один из кубиков. На нём где-то написана цифра 1, и есть только один способ
поставить кубик так, чтобы она была спереди в правильном положении. Остальные 5 граней

можно заполнить 5! = 120 способами без учёта вращения цифр. На каждой грани есть 4 способа
повернуть цифру, кроме двух цифр 0 и одной цифры 8, для которых таких способов по 2.

Ответ: 10 · 1202 · 47 · 23 = 18874368000 способов.
Критерии. Если ответ найден как арифметическое выражение, но не посчитан до конца, то не больше
6 баллов. Если найден ответ без учёта вращений цифр на гранях (9000), то ставится 3 балла. За ошибку
в 2 раза (20 способов распределения цифр по кубикам вместо 10) снимается балл.