Задание №175249: Геометрия
5. Дан разносторонний тупоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с целыми сторонами. Через вершину тупого угла𝐴 провели прямую, параллельную 𝐵𝐶, и отметили точки пересечения этой прямой с биссектрисами углов 𝐵 и 𝐶 как 𝑃 и 𝑄. Чему равно 𝑃𝑄, если 𝐵𝐶 = 4? (П. Д. Муленко)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. Дан разносторонний тупоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с целыми сторонами. Через вершину
тупого угла𝐴 провели прямую, параллельную 𝐵𝐶, и отметили точки пересечения этой прямой
с биссектрисами углов 𝐵 и 𝐶 как 𝑃 и 𝑄. Чему равно 𝑃𝑄, если 𝐵𝐶 = 4? ( П. Д. Муленко)
Ответ: 𝑃𝑄 = 5.
Решение. Из неравенств треугольника𝐴𝐵𝐶 следует, что 𝐴𝐵+𝐴𝐶 > 𝐵𝐶 = 4. А так как треуголь-
ник тупоугольный, то сторона 𝐵𝐶, лежащая напротив тупого угла 𝐴, является наибольшей, то
есть обе стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 должны быть меньше 4. Наконец, так как треугольник 𝐴𝐵𝐶 разно-
сторонний, одна из сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 равна 2, а другая — 3.
Поскольку 𝐵𝑃 является биссектрисой угла 𝐵, то ∠𝑃𝐵𝐶 = ∠𝑃𝐵𝐴.
Далее, прямая 𝑃𝑄 параллельна 𝐵𝐶, поэтому ∠𝑃𝐵𝐶 = ∠𝐵𝑃𝐴. Зна-
чит, ∠𝑃𝐵𝐴 = ∠𝐵𝑃𝐴, то есть треугольник 𝐵𝐴𝑃 — равнобедрен-
ный, и 𝐴𝑃 = 𝐴𝐵. Аналогично из равнобедренного треугольни-
ка 𝑄𝐴𝐶 получаем, что 𝑄𝐴 = 𝐴𝐶, а тогда искомая длина равна
𝑃𝑄 = 𝑃𝐴 + 𝐴𝑄 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 2 + 3 = 5.
Критерии. Замечено равенство накрест лежащих углов — 1 балл.
Доказано, что стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 равны 2 и 3 — 3 балла.
Замечено, что на картинке два равнобедренных треугольника — 3 балла.
17
Используемые формулы
Чему равно 𝑃𝑄, если 𝐵𝐶 = 4? ( П.Ответ: 𝑃𝑄 = 5.Из неравенств треугольника𝐴𝐵𝐶 следует, что 𝐴𝐵+𝐴𝐶 > 𝐵𝐶 = 4.Поскольку 𝐵𝑃 является биссектрисой угла 𝐵, то ∠𝑃𝐵𝐶 = ∠𝑃𝐵𝐴.Далее, прямая 𝑃𝑄 параллельна 𝐵𝐶, поэтому ∠𝑃𝐵𝐶 = ∠𝐵𝑃𝐴.чит, ∠𝑃𝐵𝐴 = ∠𝐵𝑃𝐴, то есть треугольник 𝐵𝐴𝑃 — равнобедрен-
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.