Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаУравненияОлимпиадный

Задание №174662: Уравнения

Страница появится в поиске после публикации подробного проверенного решения.
Условие

5. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение x 5 y 2  45 40 10 22 ? Ответ. 189. Решение. Правая часть представляет собой произведение натуральных степеней чисел 2, 3, 5. Следовательно, в разложении левой части на простые множители также будут содержаться только множители 2, 3, 5. Тогда числа x и y можно записать как x  3  5  2 , y 3  5  2 , где все показатели степеней есть целые неотрицательные числа. Уравнение принимает вид 3 52 5 52 2 52  3 80 5 62 2 22 , что равносильно системе уравнений 5 280,  5 2 62,  5 2 22. Чтобы все переменные принимали целые неотрицательные значения необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия 0; 2; 4; 6;8;10;12;14;16, 0; 2; 4; 6;8;10;12, 0; 2; 4. Получаем девять вариантов для первого уравнения, семь вариантов для второго и три для третьего. В итоге 973189 решений.

📎 e5980bde34ef0bc1987cdfcf1d2b1b6198a0ab92.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «Уравнения». Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Олимпиада «Физтех» МФТИ — официальный архив

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеготовится
Проверка дублейосновная версия

Происхождение задания

Банк заданий
Олимпиада «Физтех» МФТИ — официальный архив
Организатор
МФТИ
Материалы
1 файл
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаУравненияУравнения · тип 5анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «Уравнения» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

Решение проверяется редакцией.

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: Олимпиадный