Задание №176279: ОММО 2016
Задача 4. В треугольнике ABC с отношением сторон AB : AC = 5 : 2 биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке L. Найдите длину отрезка AL, если длина вектора −→ −→ 2 · AB + 5 · AC равна 2016.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2016» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2016
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2016
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2016» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 6. Вычислите 2arctg 3 + arcsin .
5
Ответ: π.
Решение. Первое решение. Обозначим arctg 3 через α, arcsin3/5 через β. Заметим, что β ∈ (0,π/2),
а tg2 β = sin2 β/(1 − sin2 β) = 32/42, откуда tg β = 3/4; также tg α = 3, α ∈ (0,π/2).
Находим:
2tg α 2 · 3 6 3
tg(2α) = = = − = −
1 − tg2 α 1 − 32 8 4
tg(2α) + tg β −3/4 + 3/4
tg(2α + β) = = = 0.
1 − tg(2α)tg β 1 − (−3/4) · (3/4)
Наконец, поскольку 0 < α < π/2, 0 < β < π/2, то 0 < 2α + β < 3π/2. Значит, 2α + β = π.
7
ОММО 07.02.2016 ответы и краткие решения Вариант II
Используемые формулы
Ответ: π.Заметим, что β ∈ (0,π/2),а tg2 β = sin2 β/(1 − sin2 β) = 32/42, откуда tg β = 3/4;также tg α = 3, α ∈ (0,π/2).tg(2α) = = = − = −tg(2α) + tg β −3/4 + 3/4
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.