Задание №176281: ОММО 2016
Задача 6. Вычислите 2arctg 4 + arcsin . 17
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2016» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2016
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2016
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2016» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение x3 + 6x2 + ax + 8 = 0 имеет не более двух
решений?
Ответ: [−15;+∞).
Решение. Заметим, что x = 0 не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно
−x3 − 6x2 − 8
уравнению a = (*). Обозначим правую часть через f(x).
x
Заметим, что f(x) → −∞ при x → −∞ и f(x) → −∞ при x → +∞. Также f(x) имеет вертикаль-
ную асимптоту x = 0.
8 8 − 2x − 6x2 2(x − 1)(x + 2)2
Производная функции f(x) равна f(cid:48)(x) = − 2x − 6 = = − .
x2 x2 x2
Значит, функция f(x) на промежутке (−∞,−2] возрастает от −∞ до f(−2) = 12; на промежутке
[−2,0) — продолжает возрастать от 12 до +∞; на промежутке (0,1] — возрастает от −∞ до f(1) =
−15; наконец, на промежутке [1,+∞) — убывает от −15 до −∞.
Таким образом, каждое значение из промежутка (−∞;−15) функция f(x) принимает ровно три
раз; −15 — два раза; из промежутка (−15;+∞) — один раз. (Например, значение −15 функция
примет один раз в точке 1, а второй раз — на промежутке (−∞,−2)).
Следовательно, уравнение (*), а с ним и исходное уравнение, имеет не более двух решений при
a ∈ [−15;+∞).
Используемые формулы
При каких значениях параметра a уравнение x3 + 6x2 + ax + 8 = 0 имеет не более двухЗаметим, что x = 0 не является решением исходного уравнения.уравнению a = (*).ную асимптоту x = 0.Производная функции f(x) равна f(cid:48)(x) = − 2x − 6 = = − .Значит, функция f(x) на промежутке (−∞,−2] возрастает от −∞ до f(−2) = 12;
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.