Задание №174631: Геометрия

4. Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD . Окружность  радиуса 2, центр O которой лежит на диагонали AC , касается отрезков BC , AB и AD в точках M , N и K соответственно. Известно, что AC  4 5 , а четырёхугольник KOCD вписан в окружность  . Найдите угол BOC , площадь трапеции ABCD и радиус окружности  . Ответ. BOC  90 , S  30, r  10 . Решение. Окружность вписана в углы A и B трапеции, следовательно, её центр лежит на пересечении биссектрис этих углов. Поскольку угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых равен 90 , получаем BOC  AOB  90 . 1 © МФТИ, 2014 Решения олимпиады “Физтех–2014”, билет 1 Треугольник ABC равнобедренный, так как BO является его высотой и биссектрисой. Значит, BO также является медианой, поэтому AO  CO  2 5 . Пусть CADBAC BCA. Из прямоугольного 1 2 1 треугольника MOC находим, что MC  4, tg , cos , sin . 2 5 5 Поскольку вокруг четырёхугольника KOCD можно описать окружность, сумма его противоположных углов равна 180  . Следовательно, OCD  90 . Из прямоугольного треугольника ACD находим, что AC CO AD  10 , CD  AC  tg 2 5 . Из треугольника BOC получаем, что BC   5. Находим cos cos 1 1 площадь трапеции: S  MK BC  AD 415 30. 2 2 Отрезок OD является диаметром окружности  . Из треугольника COD получаем: OD 2  CO 2  CD 2  20  20  40 ; OD  2 10 . Следовательно, радиус r окружности  равен 10 .