Задание №166165: Дроби

Задание 4. Вариант 1. Компьютер генерирует 2 натуральных случайных числа 𝑥, 𝑦 в диапазоне от 1 до 32.
На плоскости рассматривается точка 𝐴 с координатами (𝑥,𝑦). Какова вероятность, что расстояния от точки 𝐴 до точек
с координатами (1,1), (1,32), (32,1), (32,32) попарно различны? Ответ выразите в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 15/16
Решение.
Заметим, что всего различных точек с координатами в диапазоне от 1 до 32 будет 32 · 32 = 1024.
Точки с координатами (1,1), (1,32), (32,1), (32,32) являются вершинами квадрата со стороной 32.
Оси симметрии квадрата — это его диагонали и прямые, проходящие через середины противоположных сторон.
Расстояния от 𝐴 до вершин квадрата попарно различны тогда и только тогда, когда точка 𝐴 не лежит на осях
симметрии квадрата.
Заметим, что средние линии данного квадрата не проходят через целочисленные точки, поэтому ни одна из на-
ших случайных точек на средних линиях не окажется. Тогда достаточно исключить точки диагоналей. На каждой
из диагоналей квадрата находится по 32 точки с целыми координатами, при этом точка пересечения диагоналей не це-
лочисленная, поэтому дважды мы ничего не посчитаем. Значит, вероятность того, что расстояния от сгенерированной
1024 − 32 − 32 960 15
точки до вершин квадрата попарно различны, равна = = .
1024 1024 16