Задание №176268: ОММО 2016
Задача 3. На доске написано несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел, сумма которых равна 2016. Чему может равняться наименьшее из этих чисел?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2016» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2016
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2016
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2016» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 5. Решите систему уравнений
(cid:26)
x2 − xy + y2 = 19
.
x4 + x2y2 + y4 = 931
Ответ: (−5;−3), (−3;−5), (3;5), (5;3).
Решение. Заметим, что x4 + x2y2 + y4 = (x2 + y2)2 − x2y2 = (x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2). Таким
(cid:26)
x2 − xy + y2 = 19
образом, исходная система эквивалентна .
x2 + xy + y2 = 49
Сделаем замену: u = x + y, v = xy. Тогда из первого уравнения получаем, что u2 − 3v = 19, а из
второго — u2 − v = 49. Значит, v = 15, а u2 = 64, u = ±8.
Следовательно, согласно теореме Виета, пара (x,y) — это корни уравнения t2±8t+15 = 0. Значит,
(x,y) может быть только (−5;−3), (−3;−5), (3;5), (5;3). Легко видеть, что каждый из этих вариантов
удовлетворяет исходной системе.
4
Используемые формулы
x2 − xy + y2 = 19x4 + x2y2 + y4 = 931Заметим, что x4 + x2y2 + y4 = (x2 + y2)2 − x2y2 = (x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2).x2 + xy + y2 = 49Сделаем замену: u = x + y, v = xy.Тогда из первого уравнения получаем, что u2 − 3v = 19, а из
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.