Задание №176267: ОММО 2016
Задача 2. В 1б классе каждого ребенка попросили написать два числа: количество его одноклассников и количество его одноклассниц (именно в таком порядке; сам себя ребенок не считает). Каждый ребенок одно число написал правильно, а в другом ошибся ровно на 4. Среди ответов были получены такие: (15,18), (15,10), (12,13). Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2016» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2016
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2016
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2016» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 4. В треугольнике ABC с отношением сторон AB : AC = 5 : 4 биссектриса угла BAC
−→ −→
пересекает сторону BC в точке L. Найдите длину отрезка AL, если длина вектора 4 · AB + 5 · AC
равна 2016.
Ответ: 224.
Решение. Заметим, что по свойству биссектрисы треугольника BL : LC = BA : AC = 5 : 4, откуда
−→ −−→
BL = 5/9 · BC. Теперь,
−→ −→ −→ −→ 5 −−→ −→ 5 (cid:16)−→ −→(cid:17) 4 −→ 5 −→ 1 (cid:16) −→ −→(cid:17)
AL = AB + BL = AB + · BC = AB + AC − AB = · AB + · AC = 4 · AB + 5 · AC .
9 9 9 9 9
(cid:12) −→ −→(cid:12)
Следовательно, |AL| = 1/9 · (cid:12)4 · AB + 5 · AC (cid:12) = 1/9 · 2016 = 224.
(cid:12) (cid:12)
Используемые формулы
В треугольнике ABC с отношением сторон AB : AC = 5 : 4 биссектриса угла BACЗаметим, что по свойству биссектрисы треугольника BL : LC = BA : AC = 5 : 4, откудаBL = 5/9 · BC.AL = AB + BL = AB + · BC = AB + AC − AB = · AB + · AC = 4 · AB + 5 · AC .Следовательно, |AL| = 1/9 · (cid:12)4 · AB + 5 · AC (cid:12) = 1/9 · 2016 = 224.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.