Задание №176385: ОММО 2019
Задача 2. В футбольном турнире играли семь команд: каждая команда по одному разу сыграла с каждой. В следующий круг отбираются команды, набравшие тринадцать и более очков. За победу даётся 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Какое наибольшее количество команд может выйти в следующий круг?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2019» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2019
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2019
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2019» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 2. В футбольном турнире играли семь команд: каждая команда по одному разу сыграла с
каждой. В следующий круг отбираются команды, набравшие тринадцать и более очков. За победу
даётся 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Какое наибольшее количество команд
может выйти в следующий круг?
Ответ: 4.
7 · 6
Решение. Всего командами сыграна = 21 игра, в каждой из которых разыгрывалось 2 или 3
2
очка. Следовательно, максимальное количество очков, которое суммарно может быть у всех команд
это 21·3 = 63. Значит, количество вышедших в следующий этап команд n удовлетворяет неравенству
n · 13 (cid:54) 63, откуда n (cid:54) 4.
С другой стороны, можно привести пример турнирной таблицы, в которой 4 команды отбираются
в следующий круг:
1 2 3 4 5 6 7 Сумма
1 X 0 1 3 3 3 3 13
2 3 X 0 1 3 3 3 13
3 1 3 X 0 3 3 3 13
4 0 1 3 X 3 3 3 13
5 0 0 0 0 X 1 1 2
6 0 0 0 0 1 X 1 2
7 0 0 0 0 1 1 X 2
Используемые формулы
Всего командами сыграна = 21 игра, в каждой из которых разыгрывалось 2 или 3это 21·3 = 63.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.