Задание №165943: Геометрия

Задание 2. Вариант 1. Маруся нарисовала на листе бумаги несколько непересекающихся фигур: квадраты, круги,
прямоугольники, возможно, треугольники (никаких других, кроме перечисленных, она не рисовала). Виталик сосчи-
тал, что среди них ровно 3 квадрата, 5 кругов, 8 прямоугольников и 19 синих фигур (он сосчитал все фигуры каждого
типа). Сколько треугольников могла нарисовать Маруся, если каждую нарисованную фигуру Виталик сосчитал хо-
тя бы раз? Выберите все подходящие варианты:
Ответ:
• 0
• 1
• 3
• 4
✓ 6
✓ 7
✓ 9
✓ 19
Решение.
Заметим, что квадрат является прямоугольником, значит, когда Виталик считал прямоугольники, он в том числе
сосчитал и квадраты. Тогда ровно 8 + 5 = 13 фигур — не треугольники. Поскольку по условию каждую фигуру
сосчитали хоть раз, все оставшиеся фигуры — это обязательно синие треугольники. Поэтому меньше 6 треугольников
быть не может (19−13 = 6). В этом случае все нарисованные фигуры синие. В то же время больше 19 треугольников
тоже не может быть, т.к. ими окажутся синие треугольники и тогда синих фигур будет больше 19. Мы получили
максимальное и минимальное возможное количество треугольников. Для любого количества от 6 до 19 есть пример.
Возьмём крайний случай, когда треугольников 6, а все фигуры синие. Если одну из нетреугольных фигур перекра-
сить, например, в красный цвет и добавить ещё один синий треугольник, то условие задачи будет снова выполняться,
а треугольников окажется 7. Затем можно перекрасить ещё одну синюю нетреугольную фигуру и добавить синий
треугольник — треугольников станет 8. И так далее, пока синие нетреугольные фигуры не кончатся и мы не получим
другой крайний случай — все синие фигуры являются треугольниками.