Задание №180750: Устная олимпиада 2023
6. Дана окружность Ω, касающаяся стороны AB угла BAC 6. Дана окружность Ω, касающаяся стороны AB угла BAC и лежащая вне этого угла. Рассматриваются окружности и лежащая вне этого угла. Рассматриваются окружности w, вписанные в угол BAC. Общая внутренняя касательная w, вписанные в угол BAC. Общая внутренняя касательная к Ω и w, отличная от AB, касается w в точке K. Пусть L — к Ω и w, отличная от AB, касается w в точке K. Пусть L — точка касания w и AC. Докажите, что все такие прямые KL точка касания w и AC. Докажите, что все такие прямые KL проходят через фиксированную точку, не зависящую от выбопроходят через фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности w. ра окружности w. Девятнадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Девятнадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Двадцатая устная олимпиада по геометрии Двадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 16 апреля 2023 года г. Москва, 16 апреля 2023 года 10–11 класс 10–11 класс
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2023» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. (К. Аполонская) Высоты BB и CC остроугольного треугольника ABC пересекаются в
1 1
точке H, ∠A = 60◦, AB < AC, медиана AM пересекает описанную окружность треугольни-
ка ABC вторично в точке K; L — середина дуги BC описанной окружности, не содержащей
точку A; прямые B C и BC пересекаются в точке E. Докажите, что ∠EHL = ∠ABK.
1 1
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Рис. 8–9.5а Рис. 8–9.5б
Решение. Рассмотрим рис. 8–9.5а. При решении будем использовать следующие фак-
ты:
Факт 1. MH и AE перпендикулярны.
Факт 2. EH и AK перпендикулярны.
Факт 3. Если ∠A = 60◦, то LH и B C перпендикулярны.
1 1
Докажем факт 1. Пусть M — середина BC, H — точка, симметричная H относительно
1
M. Тогда она лежит на окружности, описанной около треугольника ABC и диаметрально
противоположна точке A (см. рис. 8–9.5б). Следовательно, проекция P точки A на прямую
MH лежит на пересечении двух окружностей с диаметрами AH и AH , то есть описанных
1
окружностей треугольников AB C и ABC.
1 1
Осталось доказать, что A, P и E лежат на одной прямой. Это можно сделать, например,
так.
Используя вписанные четырехугольники PAB C и PACB, получим: ∠PC E = ∠PAC =
1 1 1
= ∠PBE, то есть четырехугольник PC BE также вписанный. Кроме того, ∠APC = 180◦ −
1 1
− ∠AB C = 180◦ − ∠ABC = 180◦ − ∠EPC , учитывая, что B C BC — тоже вписанный.
1 1 1 1 1
Следовательно, A, P и E лежат на одной прямой, что и требовалось.
Теперь докажем Факт 2.
Рассмотрим треугольник MAE (см. рис. 8–9.5в). Из факта 1 следует, что H — его ор-
тоцентр. Тогда EH и AM перпендикулярны, что и требовалось.
3
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
Рис. 8–9.5в Рис. 8–9.5г
И, наконец, докажем факт 3.
Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC. Поскольку ∠A = 60◦, то
∠BOC = 120◦ = ∠BLC, то есть O и L симметричны относительно прямой BC (см. рис. 8–
9.5г). Используя, что расстояние от вершины до ортоцентра в два раза больше, чем от
центра описанной окружности до противолежащей стороны, получим, что AOLH — па-
раллелограмм, то есть LH и AO — параллельны. Осталось воспользоваться тем, что пря-
мые AO и B C перпендикулярны.
1 1
Вернемся к решению задачи. Пусть S — точка пересечения прямых AK и B C (см.
1 1
рис. 8–9.5д).
Из фактов 2 и 3 следует, что ∠EHL = ∠ASE, как тупые углы с соответственно перпен-
дикулярными сторонами. Кроме того, ∠ABK = ∠CBK +∠ABC = ∠CAK +∠AB C . Осталось
1 1
воспользоваться теоремой о внешнем угле для треугольника ASB .
1
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
Рис. 8–9.5д
Комментарии.
Используемые формулы
точке H, ∠A = 60◦, AB < AC, медиана AM пересекает описанную окружность треугольни-Докажите, что ∠EHL = ∠ABK.Если ∠A = 60◦, то LH и B C перпендикулярны.Используя вписанные четырехугольники PAB C и PACB, получим: ∠PC E = ∠PAC == ∠PBE, то есть четырехугольник PC BE также вписанный.Кроме того, ∠APC = 180◦ −
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.