Задание №180747: Устная олимпиада 2023
3. Треугольник ABC вписан в окружность. M — точка дуги 3. Треугольник ABC вписан в окружность. M — точка дуги BC (не содержащей A); M — симметрична M относительно BC (не содержащей A); M — симметрична M относительно 1 1 стороны BC. Докажите, что AM делится пополам окружностороны BC. Докажите, что AM делится пополам окружно- 1 1 стью, проходящей через середины сторон треугольника ABC. стью, проходящей через середины сторон треугольника ABC.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2023». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. (Д. Мухин) Треугольник ABC вписан в окружность. M — точка дуги BC (не содер-
жащей A); M — симметрична M относительно стороны BC. Докажите, что AM делится
1 1
пополам окружностью, проходящей через середины сторон треугольника ABC.
Решение. Пусть A , B и C — середины сторон BC, AC и AB соответственно, X —
1 1 1
середина AM (см. рис. 8–9.3). Докажем, что точки A , B , C и X лежат на одной окруж-
1 1 1 1
ности.
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
Рис. 8–9.3
Из свойства средней линии треугольника следует, что AC A B — параллелограмм,
1 1 1
то есть ∠C A B = ∠C AB = ∠CAB. Кроме того, в силу симметрии, ∠CM B = ∠CMB =
1 1 1 1 1 1
= 180◦ −∠CAB, учитывая, что четырехугольник ABMC — вписанный. Осталось заметить,
что C X и B X параллельны BM и CM как средние линии треугольников BAM и CAM
1 1 1 1 1 1
соответственно, то есть ∠C XB = ∠BM C = 180◦ − ∠C AB , откуда и следует утверждение
1 1 1 1 1
задачи.
Комментарий.
Также можно было использовать гомотетию с центром в точке A и коэффициентом
Используемые формулы
то есть ∠C A B = ∠C AB = ∠CAB.Кроме того, в силу симметрии, ∠CM B = ∠CMB == 180◦ −∠CAB, учитывая, что четырехугольник ABMC — вписанный.соответственно, то есть ∠C XB = ∠BM C = 180◦ − ∠C AB , откуда и следует утверждение
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.