Задание №180745: Устная олимпиада 2023
1. В трапеции ABCD: AD = 2BC, M — середина боковой 1. В трапеции ABCD: AD = 2BC, M — середина боковой стороны AB. Докажите, что прямая BD проходит через серестороны AB. Докажите, что прямая BD проходит через середину отрезка CM. дину отрезка CM.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2023». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. (Ю. Блинков) В трапеции ABCD: AD = 2BC, M — середина боковой стороны AB.
Докажите, что прямая BD проходит через середину отрезка CM.
Решение. Первый способ. Пусть K — середина диагонали BD (см. рис. 8–9.1а). Тогда
MK — средняя линия треугольника ABD, то есть MK = 0,5AD = BC и прямая MK па-
раллельна AD и BC. Следовательно, MBCK — параллелограмм и диагональ BK делит CM
пополам.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
Рис. 8–9.1а Рис. 8–9.1б
Второй способ. Пусть прямые CM и AD пересекаются в точке E (см. рис. 8–9.1б). Тогда
треугольники CMB и EMA равны по стороне и прилежащим к ней углам, откуда EM =
= CM и EA = CB. Кроме того, в трапеции EBCD точка пересечения диагоналей F делит их
в отношении оснований, то есть EF : CF = ED : BC = 3 : 1. Следовательно, F — середина
CM, что и требовалось.
Используемые формулы
Блинков) В трапеции ABCD: AD = 2BC, M — середина боковой стороны AB.MK — средняя линия треугольника ABD, то есть MK = 0,5AD = BC и прямая MK па-треугольники CMB и EMA равны по стороне и прилежащим к ней углам, откуда EM == CM и EA = CB.в отношении оснований, то есть EF : CF = ED : BC = 3 : 1.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.