Задание №165217: Задание 2

2 балла за ответ

Если была допущена арифметическая ошибка, то не ставились баллы за соответствующую
прибыль, остальная задача проверялась с учетом этой арифметической ошибки
За отсутствие обоснования достаточного условия максимума баллы не снижались

Задача 4 «Обмен двух благ»
(A) В исходном распределении у Ани (c, b) = (8, 2), у Бори (c, b) = (2, 8). Тогда
U (8, 2) = 2 · 8 + 2 = 18, U (2, 8) = 2 + 2 · 8 = 18.
A B
(Б) После обмена, при котором Аня отдаёт x печений и получает y конфет, получаем:
(c , b ) = (8 + y, 2 − x), (c , b ) = (2 − y, 8 + x).
A A B B
Полезности после обмена:
Ua′ = U (8 + y, 2 − x) = 2(8 + y) + (2 − x) = 18 + 2y − x,
A
Ub′ = U (2 − y, 8 + x) = (2 − y) + 2(8 + x) = 18 + 2x − y.
B
Обмен взаимовы годен тогда и только тогда, когда
Ua′ ≥ 18 ⇐⇒ 2y − x ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ 2y,
Ub′ ≥ 18 ⇐⇒ 2x − y ≥ 0 ⇐⇒ y ≤ 2x.

Имеем: y ≤ x ≤ 2y. Так как x > 0 и y > 0 принимают значение либо 1, либо 2, так как больше
конфет и печенья для обмена нет, то имеем:

(x, y) ∈ {(1, 1), (1, 2), (2, 1) (2, 2)}.
То есть любой обмен будет взаимовыгодным.

(В) Рассмотрим произвольное распределение, где у Ани (c , b ), у Бори (c , b ).
A A B B
Если b ≥ 1 и c ≥ 1, то возможен обмен (x, y) = (1, 1), и он взаимовыгоден, поскольку при таком
A B
обмене
∆U = 2 · 1 − 1 = 1 > 0, ∆U = 2 · 1 − 1 = 1 > 0.
A B
Следовательно, чтобы распределение было устойчивым, необходимо:
b = 0 или c = 0.
A B
Если b = 0 или c = 0, то ни один обмен невозможен по количествам, так как у Ани нет печенья
A B
или у Бори нет конфет. Следовательно, взаимовыгодных обменов не существует, и такое
распределение является устойчивым.
Это означает, что устойчивыми являются все ситуации, в которых у Бори либо все печенья (а
конфет может быть сколько угодно), либо нет ни одной конфеты (а печенья может быть сколько
угодно). В этих случаях обмен просто невозможен.
В терминах количества благ у Бори это означает, что устойчивые распределения — все пары

(c , b ) = (t, 10) для t = 0, 1, . . . , 10 или (c , b ) = (0, s) для s = 0, 1, . . . , 10.
B B B B
(Г) По определению устойчивости не существует обмена, который одновременно строго
увеличивает полезность Ани и полезность Бори. Поэтому если попытаться улучшить положение
одного ученика, не ухудшая положение другого, то это означало бы существование
взаимовыгодного обмена, что противоречит устойчивости.

Критерии оценивания.
(А) 5 баллов

• (1 балл) Корректно записано исходное распределение благ у Ани и Бори. Не обязательно
выписывать явно, достаточно того, что распределение понятно из решения.

• (2 балла) Верно посчитана полезность Ани в исходном распределении.

• (2 балла) Верно посчитана полезность Бори в исходном распределении.

Замечание: допускаются любые эквивалентные вычисления. При арифметической ошибке
снимается соответствующая часть баллов, остальные пункты могут оцениваться независимо.

(Б) 15 баллов
• (3 балла) Корректно описан обмен через переменные x, y и записано новое распределение

благ после обмена (кто что отдаёт и что получает).
• (4 балла) Верно выписаны полезности после обмена Ua′ и UB′ (или эквивалентные

выражения /неравенства).
• (5 баллов) Получено и корректно обосновано условие взаимной выгоды (строгое

улучшение для обоих или не ухудшение/улучшение — в соответствии с формулировкой
задачи), выведены соответствующие неравенства на x, y.

• (3 балла) Учтены ограничения целочисленности и ограниченности ресурсов (допустимые
значtния x, y), сделан корректный вывод о том, какие обмены возможны/взаимовыгодны.

• Если в ответе присутствует вариант (0;0), то баллы за ответ не начисляются, поскольку в
рамках перебора рассматриваются строго положительные значения x и y (обмен

предполагает передачу ненулевых количеств)
Частичные баллы: если верно получено условие для одного участника (например, только U′ ≥ U ),
A
начисляется до половины баллов за пункт про условия взаимной выгоды.

Дополнительный комментарий:
В пункте (Б) допускается перебор всех допустимых пар целых значений (x,y), где x –

сколько печений Аня отдаёт, а y – сколько конфет она получает. В исходном распределении у Ани 2
печенья, у Бори 2 конфеты, поэтому при строгих ограничениях x>0 и y>0 получаем, что есть всего