Задание №149667: Геометрия

9.6. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного неравнобедренного тре-
угольника ABC. Из точки A опустили перпендикуляры AP и AQ на продолжения от-
резков BO и CO за точку O. Окружность с центром T, проходящая через точки P и Q,
касается отрезка BC. Докажите, что TO ∥ BC.
Решение 1. Заметим, что существует две окружности, проходящие через точки P и
Q и касающиеся прямой BC; при этом точки их касания с BC лежат по разные стороны
от прямой PQ. Поскольку эта прямая не пересекает отрезка BC, максимум одна из этих
окружностей касается отрезка BC. Значит, окружность с центром T из условия опреде-
лена однозначно; покажем, как построить её другим способом.
Пусть AH — высота в треугольнике ABC. Четырёхугольники APHB, AQHC и APOQ
вписаны в окружности с диаметрами AB, AC и AO соответственно, поэтому
∠HPQ = ∠HPA−∠APQ = ∠HPA−∠AOQ = (180 ◦ −∠ABC)−(180 ◦ −2∠ABC) = ∠ABC;
аналогично, ∠QPH = ∠ACB. Кроме того,
∠QHB = ∠QAC = 90 ◦ − ∠ACQ = ∠ABC = ∠HPQ,
то есть описанная окружность треугольника PQH касается отрезка BC. Значит, она и
является окружность из условия.
Поскольку эта окружность касается BC, её центр T лежит на высоте AH. Теперь
имеем ∠PTQ = 2∠PHQ = 2(180 ◦ − ∠PQH − ∠QPH) = 2(180 ◦ − ∠ACB − ∠ABC) =
= 2∠BAC = ∠POQ. Значит, точка T лежит на одной окружности с точками P, O и Q, то
есть на окружности с диаметром AO, и потому OT ⊥ AT. Поскольку BC ⊥ AT, отсюда и
следует, что BC ∥ OT.

Заключительный этап, 2025–2026 учебный год

A
A

P
P
Q
Q

O T OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
T′

B H C
B C

Решение 2. Обозначим через R радиус описанной окружности треугольника ABC.
Заметим опять же, что точки P и Q лежат на окружности ω с диаметром OA. Пусть
′ ′
T — середина дуги POQ этой окружности. Тогда OT — внешняя биссектриса угла POQ,
а значит, и угла BOC. Поскольку BO = OC, эта биссектриса параллельна BC, то есть
′
расстояния от O и T до прямой BC равны, и оба равны R cosBAC. С другой стороны,
′ ′ ′ ′
по теореме синусов имем T P = T Q = R sinT PQ = R cos(PT Q/2) = R cos(POQ/2) =
′
= R cosBAC, поэтому окружность γ с центром T и радиусом R cosBAC проходит через P
и Q и касается BC.
Пусть, не умаляя общности, AB > AC. Тогда OP > OQ, следовательно, луч PQ
′
пересекается с лучом CB, а точка T ближе к точке C, чем к точке B, поэтому окружность
γ будет касаться луча BC. Как и в начале первого решения, можно получить, что такая
′
окружность единственна, а значит, точка T совпадает с T. При этом, как мы уже видели
выше, OT ∥ BC.

Ответ: Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного неравнобедренного тре-