Задание №149654: Геометрия

9.3. Дан неравнобедренный треугольник ABC, в котором ∠A = 60 ◦ . На стороне BC отмечены
точки X и Y таким образом, что 2BX = AB и 2CY = AC. Докажите, что существует
окружность, проходящая через точки X и Y , которая касается вписанной и одной из
вневписанных окружностей треугольника ABC.
Решение. Обозначим через ω вписанную окружность треугольника ABC, а через ωa его
вневписанную окружность, касающуюся стороны BC. Покажем, что существует окруж-
ность, которая проходит через точки X и Y и касается ω и ωa. Обозначим через P и Q
ближайшие друг к другу точки пересечения биссектрисы угла A с окружностями ω и ωa

Заключительный этап, 2025–2026 учебный год

соответственно, через I и Ia — центры этих окружностей, а через r и ra — их радиусы.
Докажем, что окружность γ с диаметром PQ — искомая. Для этого проверим, что точка
Y лежит на окружности γ; доказательство для точки X аналогично.
A

K

ω M
I
K′
P
X
B C
ω Y
a
Q

I
a
Пусть K — вторая точка пересечения ω с биссектрисой угла A, а M — середина AC.
Поскольку ∠BAI = 30 ◦ , имеем AI = 2r = 2IK = 2IP и AIa = 2ra = 2IaQ. В частности,
это означает, что AQ = QIa = ra и AK = KI = IP = r. Значит, MK — средняя линия в
треугольнике ACI, то есть MK ∥ CI.
При симметрии относительно биссектрисы CI угла C точка M переходит в Y , а точ-
′ ′
ка K — в некоторую точку K , также лежащую на ω. Тогда Y K ∥ MK ∥ CI и, значит,
′ ′ ′ ′
Y K ⊥ KK . С другой стороны, так как KP — диаметр ω, то PK ⊥ KK . Поэтому точка
′
K лежит на прямой Y P, а значит, Y P ∥ CI.
Наконец, QM ∥ CI как средняя линия треугольника ACI , а MY ∥ CI , поскольку
A A A
CI — биссектриса в равнобедренном треугольнике CMY ; значит, точка M лежит на
A
прямой Y Q, и QY ∥ CIa. Таким образом, ∠PY Q = ∠ICIa = 90 ◦ , и точка Y лежит на γ.
Замечание. По-другому тот факт, что точка Y лежит на γ, можно доказать так. Как
и в решении, заметим, что AI = 2r = IP. Пусть прямая AI пересекает BC в точке L.
Поскольку CI — биссектриса в треугольнике ACL, имеем
CL CA 2CY CY
= = = .
IL IA 2IP IP
Отсюда следует, что PY ∥ CI. Параллельность QY ∥ CI доказывается аналогично.
A

Ответ: Дан неравнобедренный треугольник ABC, в котором ∠A = 60 ◦ . На стороне BC отмечены