Задание №166013: Задание 8

Задание 8. Вариант 1. Петя заполнил таблицу 4 × 5 (4 строки и 5 столбцов) числами от 1 до 5, так, что в каждой
строке все числа оказались различны и в каждом столбце все числа оказались различны. Затем он сложил все числа
в первом и последнем столбцах. Какие из данных чисел он наверняка НЕ сможет получить?
Выберите все подходящие варианты.
Ответ:
✓ 20
• 21
• 23
• 25
• 26
Решение.
Наименьшей суммой различных чисел в столбце может быть 1 + 2 + 3 + 4 = 10, а наибольшей — 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Докажем, что в первом и последнем столбцах не могут быть одновременно две наименьшие и две наибольшие
суммы.
Если в первом и последнем столбцах будут наименьшие суммы, то в этих столбцах нет числа 5. Заметим, что в каж-
дой строке каждое число должно встретиться ровно по одному разу. Это следует из того, что столбцов 5 и чисел тоже 5,
значит, в таблице число 5 должно быть записано ровно 4 раза. Тогда во втором, третьем или четвёртом столбцах чис-
ло 5 встретится хотя бы два раза. Противоречие.
Аналогично если в первом и последнем столбцах наибольшие суммы, то в них нет числа 1. Тогда число 1 должно
встретиться четыре раза в столбцах со второго по четвёртый. Значит, в каком-то столбце число 1 встретится хотя бы
два раза. Снова противоречие.
Покажем, как получить все остальные суммы 𝑆 от 21 до 27.
Для 𝑆 = 21 можно составить следующую таблицу:

1 2 4 3 5
2 5 1 4 3
3 4 5 1 2
4 3 2 5 1
10 14 12 13 11
Здесь в последней строке указана сумма чисел в столбце.
Заметим, что перестановка столбцов не нарушает условие задачи. Тогда, взяв указанную выше таблицу в качестве
исходной, перестановкой столбцов можно получить любую сумму в диапазоне от 10 + 11 до 13 + 14.